BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2018 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (2−12)(3−13)(4−14)⋅15=3\left(2 - \dfrac{1}{2}\right)\left(3 - \dfrac{1}{3}\right)\left(4 - \dfrac{1}{4}\right) \cdot \dfrac{1}{5} = 3.

Rezolvare

1
3 puncte
(2−12)(3−13)(4−14)⋅15=4−12⋅9−13⋅16−14⋅15=\left(2 - \dfrac{1}{2}\right)\left(3 - \dfrac{1}{3}\right)\left(4 - \dfrac{1}{4}\right) \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{4 - 1}{2} \cdot \dfrac{9 - 1}{3} \cdot \dfrac{16 - 1}{4} \cdot \dfrac{1}{5} =
2
2 puncte
=32⋅83⋅154⋅15=3= \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{8}{3} \cdot \dfrac{15}{4} \cdot \dfrac{1}{5} = 3
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+2f(x) = x^2 + 2. Determinați numerele reale aa pentru care f(a)+f(a+1)=5f(a) + f(a + 1) = 5.

Rezolvare

1
3 puncte
a2+2+(a+1)2+2=5⇔2a2+2a=0a^2 + 2 + (a + 1)^2 + 2 = 5 \Leftrightarrow 2a^2 + 2a = 0
2
2 puncte
a=−1a = -1 sau a=0a = 0
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 52x−4=255^{2x-4} = 25.

Rezolvare

1
3 puncte
52x−4=52⇔2x−4=25^{2x-4} = 5^2 \Leftrightarrow 2x - 4 = 2
2
2 puncte
x=3x = 3
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M={10,15,20,25,30,35,40,45,50}M = \{10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50\}, acesta să fie un număr divizibil cu 1010.

Rezolvare

1
1 punct
Mulțimea MM are 99 elemente, deci sunt 99 cazuri posibile
2
2 puncte
În mulțimea MM sunt 55 numere divizibile cu 1010, deci sunt 55 cazuri favorabile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=59p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{5}{9}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(6,1)A(6, 1) și B(2,5)B(2, 5). Calculați lungimea segmentului OMOM, unde MM este mijlocul segmentului ABAB.

Rezolvare

1
2 puncte
M(4,3)M(4, 3)
2
3 puncte
OM=5OM = 5
Exercițiul 6
Arătați că 2sin⁡45°⋅cos⁡45°−sin⁡245°−cos⁡260°=142\sin 45° \cdot \cos 45° - \sin^2 45° - \cos^2 60° = \dfrac{1}{4}.

Rezolvare

1
3 puncte
sin⁡45°=22\sin 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡45°=22\cos 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡60°=12\cos 60° = \dfrac{1}{2}
2
2 puncte
2⋅22⋅22−(22)2−(12)2=1−12−14=142 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 1 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(5148)A = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} și M(a)=(a−214a+1)M(a) = \begin{pmatrix} a - 2 & 1 \\ 4 & a + 1 \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡A=36\det A = 36. b) Determinați valorile reale ale lui aa pentru care matricea M(a)M(a) este inversabilă. c) Determinați numerele reale xx și yy pentru care M(x)⋅M(y)=AM(x) \cdot M(y) = A.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡A=∣5148∣=5⋅8−4⋅1=\det A = \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 8 \end{vmatrix} = 5 \cdot 8 - 4 \cdot 1 =
2
2 puncte
=40−4=36= 40 - 4 = 36
b)5 puncte
3
2 puncte
b) det⁡(M(a))=∣a−214a+1∣=a2−a−6\det(M(a)) = \begin{vmatrix} a - 2 & 1 \\ 4 & a + 1 \end{vmatrix} = a^2 - a - 6
4
3 puncte
M(a)M(a) este inversabilă ⇔det⁡(M(a))≠0⇔a∈R∖{−2,3}\Leftrightarrow \det(M(a)) \neq 0 \Leftrightarrow a \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 3\}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) (xy−2x−2y+8x+y−14x+4y−4xy+x+y+5)=(5148)⇔xy=1\begin{pmatrix} xy - 2x - 2y + 8 & x + y - 1 \\ 4x + 4y - 4 & xy + x + y + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} \Leftrightarrow xy = 1 și x+y=2x + y = 2
6
2 puncte
x=1x = 1, y=1y = 1
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3+mX−6f = X^3 + mX - 6, unde mm este număr real. a) Arătați că f(1)=m−5f(1) = m - 5, pentru orice număr real mm. b) Determinați numărul real mm pentru care x12+x22+x32=4x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 4, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff. c) Pentru m=−7m = -7, determinați numerele reale pp și qq, pentru care f=(X+1)(X2+pX+q)f = (X + 1)(X^2 + pX + q).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f(1)=13+m⋅1−6=f(1) = 1^3 + m \cdot 1 - 6 =
2
2 puncte
=1+m−6=m−5= 1 + m - 6 = m - 5, pentru orice număr real mm
b)5 puncte
3
3 puncte
b) x1+x2+x3=0x_1 + x_2 + x_3 = 0, x1x2+x1x3+x2x3=m⇒x12+x22+x32=−2mx_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = m \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = -2m
4
2 puncte
−2m=4⇔m=−2-2m = 4 \Leftrightarrow m = -2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) X3−7X−6=X3+(p+1)X2+(p+q)X+qX^3 - 7X - 6 = X^3 + (p + 1)X^2 + (p + q)X + q
6
2 puncte
p=−1p = -1, q=−6q = -6

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+3f(x) = x^3 - 3x^2 + 3. a) Arătați că f′(x)=3x(x−2)f'(x) = 3x(x - 2), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=1x = 1, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că f(x)≥−1f(x) \geq -1, pentru orice x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=3x2−3⋅2x=f'(x) = 3x^2 - 3 \cdot 2x =
2
2 puncte
=3x2−6x=3x(x−2)= 3x^2 - 6x = 3x(x - 2), x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(1)=1f(1) = 1, f′(1)=−3f'(1) = -3
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(1)=f′(1)(x−1)y - f(1) = f'(1)(x - 1), adică y=−3x+4y = -3x + 4
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈[0,2]⇒fx \in [0, 2] \Rightarrow f este descrescătoare pe [0,2][0, 2] și f′(x)≥0f'(x) \geq 0, pentru orice x∈[2,+∞)⇒fx \in [2, +\infty) \Rightarrow f este crescătoare pe [2,+∞)[2, +\infty)
6
3 puncte
f(x)≥f(2)f(x) \geq f(2), pentru orice x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty) și f(2)=−1f(2) = -1, deci f(x)≥−1f(x) \geq -1, pentru orice x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)={3x2−x,x∈(−∞,1]2+1x⋅ln⁡x,x∈(1,+∞)f(x) = \begin{cases} 3x^2 - x, & x \in (-\infty, 1] \\ 2 + \dfrac{1}{x} \cdot \ln x, & x \in (1, +\infty) \end{cases}. a) Arătați că ∫−11f(x) dx=2\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 2. b) Arătați că funcția ff admite primitive pe R\mathbb{R}. c) Determinați numărul natural nn pentru care ∫02f(x) dx=n2−4+ln⁡222\displaystyle\int_0^2 f(x) \, dx = \dfrac{n^2 - 4 + \ln^2 2}{2}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫−11f(x) dx=∫−11(3x2−x) dx=(x3−x22)∣−11=\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} (3x^2 - x) \, dx = \left.\left(x^3 - \dfrac{x^2}{2}\right)\right|_{-1}^{1} =
2
2 puncte
=(1−12)−(−1−12)=2= \left(1 - \dfrac{1}{2}\right) - \left(-1 - \dfrac{1}{2}\right) = 2
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Cum lim⁡x→1x<1f(x)=lim⁡x→1x<1(3x2−x)=2\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} (3x^2 - x) = 2, lim⁡x→1x>1f(x)=lim⁡x→1x>1(2+1x⋅ln⁡x)=2\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} \left(2 + \dfrac{1}{x} \cdot \ln x\right) = 2 și f(1)=2f(1) = 2, obținem lim⁡x→1f(x)=f(1)\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = f(1), deci funcția ff este continuă în x=1x = 1
4
2 puncte
Cum funcția ff este continuă pe (−∞,1)(-\infty, 1) și pe (1,+∞)(1, +\infty), obținem că ff este continuă pe R\mathbb{R}, deci funcția ff admite primitive pe R\mathbb{R}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫02f(x) dx=∫01(3x2−x) dx+∫12(2+1x⋅ln⁡x)dx=(x3−x22)∣01+(2x+ln⁡2x2)∣12=5+ln⁡222\displaystyle\int_0^2 f(x) \, dx = \int_0^1 (3x^2 - x) \, dx + \int_1^2 \left(2 + \dfrac{1}{x} \cdot \ln x\right) dx = \left.\left(x^3 - \dfrac{x^2}{2}\right)\right|_0^1 + \left.\left(2x + \dfrac{\ln^2 x}{2}\right)\right|_1^2 = \dfrac{5 + \ln^2 2}{2}
6
2 puncte
5+ln⁡222=n2−4+ln⁡222⇔n2−9=0\dfrac{5 + \ln^2 2}{2} = \dfrac{n^2 - 4 + \ln^2 2}{2} \Leftrightarrow n^2 - 9 = 0 și, cum nn este număr natural, obținem n=3n = 3

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2018 — Științele Naturii

Următor →

Model 2018 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac