BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2021 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Calculați media aritmetică a numerelor reale a=2021−2a = 2021 - \sqrt{2} și b=2021+2b = 2021 + \sqrt{2}.

Rezolvare

1
3 puncte
ma=a+b2=2021−2+2021+22=m_a = \dfrac{a + b}{2} = \dfrac{2021 - \sqrt{2} + 2021 + \sqrt{2}}{2} =
2
2 puncte
=2⋅20212=2021= \dfrac{2 \cdot 2021}{2} = 2021
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−3x+1f(x) = x^2 - 3x + 1. Determinați numărul real mm, știind că punctul A(1,m)A(1, m) aparține graficului funcției ff.

Rezolvare

1
3 puncte
f(1)=m⇔1−3+1=mf(1) = m \Leftrightarrow 1 - 3 + 1 = m
2
2 puncte
m=−1m = -1
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(x+3)+log⁡3(x−3)=2\log_3\left(\sqrt{x} + 3\right) + \log_3\left(\sqrt{x} - 3\right) = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
log⁡3((x+3)(x−3))=2\log_3\left((\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)\right) = 2, deci (x)2−9=32(\sqrt{x})^2 - 9 = 3^2
2
2 puncte
x−9=9x - 9 = 9, deci x=18x = 18, care convine
Exercițiul 4
Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are exact 1616 submulțimi.

Rezolvare

1
3 puncte
O mulțime cu nn elemente are 2n2^n submulțimi
2
2 puncte
2n=162^n = 16, deci n=4n = 4
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele M(3,0)M(3,0), N(8,3)N(8,3) și P(6,3)P(6,3). Determinați coordonatele punctului QQ, știind că MN→+MP→=MQ→\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{MQ}.

Rezolvare

1
3 puncte
MNQPMNQP este paralelogram, deci segmentele MQMQ și PNPN au același mijloc
2
2 puncte
Coordonatele punctului QQ sunt x=11x = 11 și y=6y = 6
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABCABC în care sin⁡2A⋅cos⁡A=sin⁡A\sin 2A \cdot \cos A = \sin A. Arătați că A=π4A = \dfrac{\pi}{4}.

Rezolvare

1
3 puncte
În △ABC\triangle ABC, 2sin⁡A⋅cos⁡A⋅cos⁡A=sin⁡A2\sin A \cdot \cos A \cdot \cos A = \sin A, deci cos⁡2A=12\cos^2 A = \dfrac{1}{2}
2
2 puncte
Cum unghiul AA este ascuțit, obținem cos⁡A=12\cos A = \dfrac{1}{\sqrt{2}}, deci A=π4A = \dfrac{\pi}{4}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(1000a01+log⁡2a01)A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 1 + \log_2 a & 0 & 1 \end{pmatrix}, unde a∈(0,+∞)a \in (0, +\infty). a) Arătați că det⁡(A(1))=1\det(A(1)) = 1. b) Demonstrați că, pentru orice a∈(0,+∞)a \in (0, +\infty), matricea A(a)A(a) este inversabilă. c) Demonstrați că, pentru orice a∈(0,+∞)a \in (0, +\infty), det⁡(A(a)+(A(a))−1)≥8\det\left(A(a) + (A(a))^{-1}\right) \geq 8, unde (A(a))−1(A(a))^{-1} este inversa matricei A(a)A(a).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(1)=(100010101)⇒det⁡(A(1))=∣100010101∣=A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=1+0+0−0−0−0=1= 1 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
b) det⁡(A(a))=a\det(A(a)) = a, pentru orice a∈(0,+∞)a \in (0, +\infty)
4
2 puncte
det⁡(A(a))≠0\det(A(a)) \neq 0, pentru orice a∈(0,+∞)a \in (0, +\infty), deci matricea A(a)A(a) este inversabilă
c)5 puncte
5
2 puncte
c) (A(a))−1=(10001a0−1−log⁡2a01)(A(a))^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{a} & 0 \\ -1 - \log_2 a & 0 & 1 \end{pmatrix}, pentru orice a∈(0,+∞)a \in (0, +\infty)
6
3 puncte
A(a)+(A(a))−1=(2000a+1a0002)⇒det⁡(A(a)+(A(a))−1)=4(a+1a)A(a) + (A(a))^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & a + \frac{1}{a} & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det\left(A(a) + (A(a))^{-1}\right) = 4\left(a + \dfrac{1}{a}\right) și, cum a+1a≥2a + \dfrac{1}{a} \geq 2, obținem det⁡(A(a)+(A(a))−1)≥8\det\left(A(a) + (A(a))^{-1}\right) \geq 8, pentru orice a∈(0,+∞)a \in (0, +\infty)
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−m(x+y)+m(m+1)x \circ y = xy - m(x + y) + m(m + 1), unde m∈(0,+∞)m \in (0, +\infty). a) Pentru m=1m = 1, arătați că 2∘2=22 \circ 2 = 2. b) Demonstrați că, dacă 2∘1=52 \circ 1 = 5, atunci 2∘5=12 \circ 5 = 1. c) Determinați numărul real xx, știind că (mx3)∘(−mx2)=m(mx^3) \circ (-mx^2) = m, pentru orice m∈(0,+∞)m \in (0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Pentru m=1m = 1, obținem x∘y=xy−(x+y)+2x \circ y = xy - (x + y) + 2, deci 2∘2=2⋅2−(2+2)+2=2 \circ 2 = 2 \cdot 2 - (2 + 2) + 2 =
2
2 puncte
=4−4+2=2= 4 - 4 + 2 = 2
b)5 puncte
3
3 puncte
b) 2∘1=5⇔2⋅1−m(2+1)+m(m+1)=5⇔m2−2m−3=02 \circ 1 = 5 \Leftrightarrow 2 \cdot 1 - m(2 + 1) + m(m + 1) = 5 \Leftrightarrow m^2 - 2m - 3 = 0 și, cum m∈(0,+∞)m \in (0, +\infty), m=3m = 3
4
2 puncte
2∘5=2⋅5−3(2+5)+3⋅4=10−21+12=12 \circ 5 = 2 \cdot 5 - 3(2 + 5) + 3 \cdot 4 = 10 - 21 + 12 = 1
c)5 puncte
5
2 puncte
c) −m2x5−m(mx3−mx2)+m2+m=m⇔m2(x5+x3−x2−1)=0-m^2x^5 - m(mx^3 - mx^2) + m^2 + m = m \Leftrightarrow m^2(x^5 + x^3 - x^2 - 1) = 0
6
3 puncte
Cum m∈(0,+∞)m \in (0, +\infty), obținem x3(x2+1)−x2−1=0⇔(x2+1)(x3−1)=0x^3(x^2 + 1) - x^2 - 1 = 0 \Leftrightarrow (x^2 + 1)(x^3 - 1) = 0, deci x=1x = 1

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x4−2−4ln⁡xf(x) = x^4 - 2 - 4\ln x. a) Arătați că f′(x)=4(x2+1)(x+1)(x−1)xf'(x) = \dfrac{4(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff. c) Demonstrați că ecuația f(x)=0f(x) = 0 are exact două soluții distincte în intervalul (0,+∞)(0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=4x3−4x=4x4−4x=f'(x) = 4x^3 - \dfrac{4}{x} = \dfrac{4x^4 - 4}{x} =
2
2 puncte
=4(x4−1)x=4(x2+1)(x+1)(x−1)x= \dfrac{4(x^4 - 1)}{x} = \dfrac{4(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f′(x)=0⇔x=1f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1
4
3 puncte
f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈(0,1]x \in (0, 1], deci ff este descrescătoare pe (0,1](0, 1] și f′(x)≥0f'(x) \geq 0, pentru orice x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty), deci ff este crescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty)
c)5 puncte
5
2 puncte
c) lim⁡x→0f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty, lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty
6
3 puncte
Cum f(1)=−1f(1) = -1, ff este continuă, ff este strict descrescătoare pe (0,1)(0, 1) și ff este strict crescătoare pe (1,+∞)(1, +\infty), obținem că ecuația f(x)=0f(x) = 0 are exact două soluții distincte în intervalul (0,+∞)(0, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=1+2xx4+1f(x) = 1 + \dfrac{2x}{x^4 + 1}. a) Arătați că ∫01(x4+1)f(x) dx=115\displaystyle\int_0^1 (x^4 + 1) f(x) \, dx = \dfrac{11}{5}. b) Se consideră F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R} o primitivă a funcției ff. Știind că graficul funcției FF are asimptotă oblică spre +∞+\infty, determinați panta acestei asimptote. c) Se consideră funcția G:R→RG : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, primitiva funcției ff pentru care G(0)=0G(0) = 0. Arătați că ∫01xG(x) dx=13+π8−14ln⁡2\displaystyle\int_0^1 xG(x) \, dx = \dfrac{1}{3} + \dfrac{\pi}{8} - \dfrac{1}{4}\ln 2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫01(x4+1)f(x) dx=∫01(x4+1+2x) dx=(x55+x+x2)∣01=\displaystyle\int_0^1 (x^4 + 1)f(x) \, dx = \int_0^1 (x^4 + 1 + 2x) \, dx = \left.\left(\dfrac{x^5}{5} + x + x^2\right)\right|_0^1 =
2
2 puncte
=15+1+1=115= \dfrac{1}{5} + 1 + 1 = \dfrac{11}{5}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→+∞F(x)x=lim⁡x→+∞F′(x)1=lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞(1+2xx4+1)=1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{F(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{F'(x)}{1} = \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{2x}{x^4 + 1}\right) = 1
4
2 puncte
Asimptota oblică spre +∞+\infty la graficul funcției FF are panta egală cu 11
c)5 puncte
5
2 puncte
c) G(x)=∫0xf(t) dt=∫0x(1+2tt4+1)dt=(t+arctan⁡(t2))∣0x=x+arctan⁡(x2)G(x) = \displaystyle\int_0^x f(t) \, dt = \int_0^x \left(1 + \dfrac{2t}{t^4 + 1}\right) dt = \left.\left(t + \arctan(t^2)\right)\right|_0^x = x + \arctan(x^2), x∈Rx \in \mathbb{R}
6
3 puncte
∫01xG(x) dx=∫01(x2+xarctan⁡(x2)) dx=x33∣01+12∫01(x2)′arctan⁡(x2) dx=13+12⋅π4−14ln⁡(x4+1)∣01=13+π8−14ln⁡2\displaystyle\int_0^1 xG(x) \, dx = \int_0^1 (x^2 + x\arctan(x^2)) \, dx = \left.\dfrac{x^3}{3}\right|_0^1 + \dfrac{1}{2}\int_0^1 (x^2)'\arctan(x^2) \, dx = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{1}{4}\left.\ln(x^4 + 1)\right|_0^1 = \dfrac{1}{3} + \dfrac{\pi}{8} - \dfrac{1}{4}\ln 2

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară Rezervă 2021 — Tehnologic

Următor →

Bac Toamnă 2021 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac