BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2022 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 1+6⋅(12+13)=61 + 6 \cdot \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\right) = 6.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează 1+6⋅(12+13)=1+6⋅561 + 6 \cdot \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\right) = 1 + 6 \cdot \dfrac{5}{6}.
2
2 puncte
Se obține 1+5=61 + 5 = 6.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x−2f(x) = x - 2. Arătați că f(3)−f(2)=1f(3) - f(2) = 1.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează f(3)=3−2=1f(3) = 3 - 2 = 1.
2
3 puncte
Se calculează f(2)=2−2=0f(2) = 2 - 2 = 0, de unde obținem f(3)−f(2)=1−0=1f(3) - f(2) = 1 - 0 = 1.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+1=2\sqrt{3x + 1} = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
Se ridică la pătrat și se obține 3x+1=43x + 1 = 4.
2
2 puncte
Se obține x=1x = 1, care convine.
Exercițiul 4
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}, numărul 10−n10 - n să fie par.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea AA are 99 elemente, deci sunt 99 cazuri posibile.
2
3 puncte
Numerele nn din mulțimea AA pentru care numărul 10−n10 - n este par sunt 22, 44, 66 și 88, de unde obținem 44 cazuri favorabile, deci p=49p = \dfrac{4}{9}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(a,0)A(a, 0) și B(a,6)B(a, 6), unde aa este număr real. Arătați că AB=6AB = 6, pentru orice număr real aa.

Rezolvare

1
3 puncte
Pentru orice număr real aa, AB=(a−a)2+(6−0)2AB = \sqrt{(a - a)^2 + (6 - 0)^2}.
2
2 puncte
Se obține AB=62=6AB = \sqrt{6^2} = 6.
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC dreptunghic în AA, cu AB=5AB = 5 și AC=2ABAC = 2AB. Arătați că aria triunghiului ABCABC este egală cu 2525.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează AC=2⋅5=10AC = 2 \cdot 5 = 10.
2
3 puncte
Se calculează A△ABC=AB⋅AC2=5⋅102=25\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \dfrac{AB \cdot AC}{2} = \dfrac{5 \cdot 10}{2} = 25.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(7331)A = \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}, B=(111−1)B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} și I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. a) Arătați că det⁡A=−2\det A = -2. b) Arătați că A−4I2=3BA - 4I_2 = 3B. c) Determinați matricea X∈M2(R)X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care X+X⋅B=AX + X \cdot B = A.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează det⁡A=∣7331∣=7⋅1−3⋅3\det A = \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 7 \cdot 1 - 3 \cdot 3.
2
2 puncte
Se obține det⁡A=7−9=−2\det A = 7 - 9 = -2.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează A−4I2=(7331)−(4004)=(333−3)A - 4I_2 = \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}.
4
2 puncte
Se calculează 3B=3(111−1)=(333−3)3B = 3 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}, deci A−4I2=3BA - 4I_2 = 3B.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se scrie X⋅(I2+B)=AX \cdot (I_2 + B) = A și, cum I2+B=(2110)I_2 + B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} și det⁡(I2+B)≠0\det(I_2 + B) \neq 0, obținem X=A⋅(I2+B)−1X = A \cdot (I_2 + B)^{-1}.
6
3 puncte
Se calculează (I2+B)−1=(011−2)(I_2 + B)^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}, de unde obținem X=(3111)X = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy(x+y−4)x * y = xy(x + y - 4). a) Arătați că 2∗3=62 * 3 = 6. b) Determinați numerele reale xx pentru care 1∗x=41 * x = 4. c) Determinați numărul real xx pentru care 2x∗2x=23x2^x * 2^x = 2^{3x}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează 2∗3=2⋅3⋅(2+3−4)2 * 3 = 2 \cdot 3 \cdot (2 + 3 - 4).
2
2 puncte
Se obține 2∗3=6⋅1=62 * 3 = 6 \cdot 1 = 6.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Se calculează 1∗x=x2−3x1 * x = x^2 - 3x, pentru orice număr real xx.
4
3 puncte
Se rezolvă x2−3x−4=0x^2 - 3x - 4 = 0, de unde obținem x=−1x = -1 sau x=4x = 4.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se calculează 2x∗2x=22x(2x+2x−4)2^x * 2^x = 2^{2x}(2^x + 2^x - 4), pentru orice număr real xx.
6
3 puncte
Se obține 22x(2x+2x−4)=23x⇔2x+2x−4=2x⇔2x=42^{2x}(2^x + 2^x - 4) = 2^{3x} \Leftrightarrow 2^x + 2^x - 4 = 2^x \Leftrightarrow 2^x = 4, de unde obținem x=2x = 2.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−9x2+3f(x) = x^3 - 9x^2 + 3. a) Arătați că f′(x)=3x(x−6)f'(x) = 3x(x - 6), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff. c) Arătați că lim⁡x→1f′(x)−f′(1)3f(x)−xf′(x)=23\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{f'(x) - f'(1)}{3f(x) - xf'(x)} = \frac{2}{3}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează f′(x)=3x2−9⋅2xf'(x) = 3x^2 - 9 \cdot 2x.
2
2 puncte
Se obține f′(x)=3x2−18x=3x(x−6)f'(x) = 3x^2 - 18x = 3x(x - 6), x∈Rx \in \mathbb{R}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Din f′(x)=0f'(x) = 0 rezultă x=0x = 0 sau x=6x = 6.
4
3 puncte
Pentru orice x∈(−∞,0]x \in (-\infty, 0], f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe (−∞,0](-\infty, 0]; pentru orice x∈[0,6]x \in [0, 6], f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe [0,6][0, 6]; pentru orice x∈[6,+∞)x \in [6, +\infty), f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe [6,+∞)[6, +\infty).
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se calculează lim⁡x→1f′(x)−f′(1)3f(x)−xf′(x)=lim⁡x→13(x2−6x+5)9(1−x2)\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{f'(x) - f'(1)}{3f(x) - xf'(x)} = \lim_{x \to 1} \frac{3(x^2 - 6x + 5)}{9(1 - x^2)}.
6
3 puncte
Se obține lim⁡x→13(x−1)(x−5)−9(x−1)(x+1)=lim⁡x→1x−5−3(x+1)=−4−6=23\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{3(x - 1)(x - 5)}{-9(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x - 5}{-3(x + 1)} = \frac{-4}{-6} = \frac{2}{3}.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(x−1)exf(x) = (x - 1)e^x. a) Arătați că ∫02f(x)ex dx=0\displaystyle\int_0^2 \frac{f(x)}{e^x}\,dx = 0. b) Arătați că ∫01f(x) dx=2−e\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx = 2 - e. c) Determinați numărul natural nn, n>2n > 2, pentru care ∫2nxf(x)⋅f(−x) dx=12ln⁡38\displaystyle\int_2^n \frac{x}{f(x) \cdot f(-x)}\,dx = \frac{1}{2}\ln\frac{3}{8}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează ∫02f(x)ex dx=∫02(x−1) dx=(x22−x)∣02\displaystyle\int_0^2 \frac{f(x)}{e^x}\,dx = \int_0^2 (x - 1)\,dx = \left.\left(\frac{x^2}{2} - x\right)\right|_0^2.
2
2 puncte
Se obține (42−2)−0=2−2=0\left(\dfrac{4}{2} - 2\right) - 0 = 2 - 2 = 0.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează ∫01f(x) dx=∫01(x−1)ex dx=(x−1)ex∣01−∫01ex dx=(x−1)ex∣01−ex∣01\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx = \int_0^1 (x - 1)e^x\,dx = \left.(x - 1)e^x\right|_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = \left.(x - 1)e^x\right|_0^1 - \left.e^x\right|_0^1.
4
2 puncte
Se obține (0⋅e−(−1)⋅1)−(e−1)=1−e+1=2−e(0 \cdot e - (-1) \cdot 1) - (e - 1) = 1 - e + 1 = 2 - e.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează ∫2nxf(x)⋅f(−x) dx=∫2nx1−x2 dx=−12∫2n(x2−1)′x2−1 dx=−12ln⁡∣x2−1∣∣2n=12ln⁡3n2−1\displaystyle\int_2^n \frac{x}{f(x) \cdot f(-x)}\,dx = \int_2^n \frac{x}{1 - x^2}\,dx = -\frac{1}{2}\int_2^n \frac{(x^2 - 1)'}{x^2 - 1}\,dx = -\frac{1}{2}\left.\ln|x^2 - 1|\right|_2^n = \frac{1}{2}\ln\frac{3}{n^2 - 1}.
6
2 puncte
Se obține 12ln⁡3n2−1=12ln⁡38\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{3}{n^2 - 1} = \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{3}{8} și, cum nn este număr natural, n>2n > 2, obținem n=3n = 3.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2022 — Științele Naturii

Următor →

Model 2022 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac