BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2023 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 1,5+3⋅(1−0,5)=31{,}5 + 3 \cdot (1 - 0{,}5) = 3.

Rezolvare

1
3 puncte
1,5+3⋅(1−0,5)=1,5+3⋅0,51{,}5 + 3 \cdot (1 - 0{,}5) = 1{,}5 + 3 \cdot 0{,}5
2
2 puncte
=1,5+1,5=3= 1{,}5 + 1{,}5 = 3
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=5−xf(x) = 5 - x. Arătați că f(0)−f(1)=1f(0) - f(1) = 1.

Rezolvare

1
2 puncte
f(0)=5f(0) = 5
2
3 puncte
f(1)=4f(1) = 4, deci f(0)−f(1)=5−4=1f(0) - f(1) = 5 - 4 = 1
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x−8=1\sqrt{3x - 8} = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
3x−8=13x - 8 = 1
2
2 puncte
x=3x = 3, care convine
Exercițiul 4
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea A={1,3,5,7,9}A = \{1, 3, 5, 7, 9\}, acesta să verifice inegalitatea 2n≥92n \geq 9.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea AA are 55 elemente, deci sunt 55 cazuri posibile
2
3 puncte
Numerele nn din mulțimea AA pentru care 2n≥92n \geq 9 sunt 55, 77 și 99, deci sunt 33 cazuri favorabile, de unde obținem p=35p = \frac{3}{5}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,0)A(1, 0), B(1,2)B(1, 2) și C(4,1)C(4, 1). Arătați că triunghiul ABCABC este isoscel.

Rezolvare

1
2 puncte
AC=(4−1)2+(1−0)2=10AC = \sqrt{(4-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{10}
2
3 puncte
BC=(4−1)2+(1−2)2=10BC = \sqrt{(4-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{10}, deci triunghiul ABCABC este isoscel
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC dreptunghic în AA, cu aria egală cu 5050 și AC=5AC = 5. Arătați că lungimea laturii ABAB este egală cu 2020.

Rezolvare

1
3 puncte
AABC=AB⋅AC2\mathcal{A}_{ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2}, deci 50=AB⋅5250 = \frac{AB \cdot 5}{2}
2
2 puncte
AB=2⋅505=20AB = \frac{2 \cdot 50}{5} = 20

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(x1−x2−x)A(x) = \begin{pmatrix} x & 1 \\ -x & 2 - x \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(1))=2\det(A(1)) = 2. b) Arătați că 3A(2)+A(6)=4A(3)3A(2) + A(6) = 4A(3). c) Determinați numerele reale xx pentru care A(x)⋅A(x)=2A(x)A(x) \cdot A(x) = 2A(x).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) A(1)=(11−11)A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, det⁡(A(1))=1⋅1−1⋅(−1)\det(A(1)) = 1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)
2
2 puncte
=1+1=2= 1 + 1 = 2
b)5 puncte
3
3 puncte
b) 3A(2)+A(6)=(63−60)+(61−6−4)=(124−12−4)3A(2) + A(6) = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ -6 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ -6 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 4 \\ -12 & -4 \end{pmatrix}
4
2 puncte
=4(31−3−1)=4A(3)= 4 \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} = 4A(3)
c)5 puncte
5
2 puncte
c) A(x)⋅A(x)=(x2−x2−2xx2−5x+4)A(x) \cdot A(x) = \begin{pmatrix} x^2 - x & 2 \\ -2x & x^2 - 5x + 4 \end{pmatrix}, pentru orice număr real xx
6
3 puncte
(x2−x2−2xx2−5x+4)=(2x2−2x4−2x)\begin{pmatrix} x^2 - x & 2 \\ -2x & x^2 - 5x + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x & 2 \\ -2x & 4 - 2x \end{pmatrix}, de unde obținem x=0x = 0 sau x=3x = 3
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy+2x−y−1x * y = xy + 2x - y - 1. a) Arătați că 1∗1=11 * 1 = 1. b) Determinați numărul real xx pentru care x∗2=xx * 2 = x. c) Arătați că (1−x)∗x≤2(1 - x) * x \leq 2, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 1∗1=1⋅1+2⋅1−1−11 * 1 = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 1 - 1
2
2 puncte
=1+2−1−1=1= 1 + 2 - 1 - 1 = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
b) x∗2=4x−3x * 2 = 4x - 3, pentru orice număr real xx
4
2 puncte
4x−3=x4x - 3 = x, de unde obținem x=1x = 1
c)5 puncte
5
3 puncte
c) (1−x)∗x=−x2−2x−1+2(1 - x) * x = -x^2 - 2x - 1 + 2
6
2 puncte
=−(x+1)2+2≤2= -(x + 1)^2 + 2 \leq 2, pentru orice număr real xx

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+2ex−1f(x) = 2x + \frac{2}{e^x} - 1. a) Arătați că f′(x)=2(ex−1)exf'(x) = \frac{2(e^x - 1)}{e^x}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=0x = 0, situat pe graficul funcției ff. c) Determinați numerele reale mm și nn, știind că dreapta dd de ecuație y=mx+ny = mx + n este asimptota oblică spre +∞+\infty la graficul funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=2−2e−x=2−2exf'(x) = 2 - 2e^{-x} = 2 - \frac{2}{e^x}
2
2 puncte
=2ex−2ex=2(ex−1)ex= \frac{2e^x - 2}{e^x} = \frac{2(e^x - 1)}{e^x}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(0)=1f(0) = 1, f′(0)=0f'(0) = 0
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(0)=f′(0)(x−0)y - f(0) = f'(0)(x - 0), adică y=1y = 1
c)5 puncte
5
3 puncte
c) lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞(2+2xex−1x)=2\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(2 + \frac{2}{xe^x} - \frac{1}{x}\right) = 2, deci m=2m = 2
6
2 puncte
lim⁡x→+∞(f(x)−2x)=lim⁡x→+∞(2ex−1)=−1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(f(x) - 2x\right) = \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{2}{e^x} - 1\right) = -1, deci n=−1n = -1
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=4x3+3xf(x) = 4x^3 + 3x. a) Arătați că ∫12(f(x)−3x)dx=15\displaystyle\int_1^2 \left(f(x) - 3x\right) dx = 15. b) Arătați că ∫251f(x)−4x3+3 dx=13ln⁡2\displaystyle\int_2^5 \frac{1}{f(x) - 4x^3 + 3}\, dx = \frac{1}{3} \ln 2. c) Demonstrați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției g:[1,2]→Rg : [1, 2] \to \mathbb{R}, g(x)=x3+f(x)xg(x) = \frac{x^3 + f(x)}{x} este egal cu 2πf(3)2\pi f(3).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫12(f(x)−3x)dx=∫124x3 dx=x4∣12\displaystyle\int_1^2 \left(f(x) - 3x\right) dx = \int_1^2 4x^3\, dx = \left. x^4 \right|_1^2
2
2 puncte
=16−1=15= 16 - 1 = 15
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫251f(x)−4x3+3 dx=13∫251x+1 dx=13ln⁡(x+1)∣25\displaystyle\int_2^5 \frac{1}{f(x) - 4x^3 + 3}\, dx = \frac{1}{3} \int_2^5 \frac{1}{x + 1}\, dx = \frac{1}{3} \left. \ln(x + 1) \right|_2^5
4
2 puncte
=13(ln⁡6−ln⁡3)=13ln⁡2= \frac{1}{3}(\ln 6 - \ln 3) = \frac{1}{3} \ln 2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) g(x)=5x2+3g(x) = 5x^2 + 3, x∈[1,2]x \in [1, 2], deci V=π∫12(25x4+30x2+9) dx=π(5x5+10x3+9x)∣12=234π\mathcal{V} = \pi \displaystyle\int_1^2 (25x^4 + 30x^2 + 9)\, dx = \pi \left. \left(5x^5 + 10x^3 + 9x\right) \right|_1^2 = 234\pi
6
2 puncte
f(3)=4⋅33+3⋅3=117f(3) = 4 \cdot 3^3 + 3 \cdot 3 = 117, deci V=2πf(3)\mathcal{V} = 2\pi f(3)

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2023 — Științele Naturii

Următor →

Bac Toamnă Rezervă 2023 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac