BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2014 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Calculați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} știind că a1=6a_1 = 6 și a2=12a_2 = 12.

Rezolvare

1
2 puncte
a3=18a_3 = 18
2
3 puncte
a1+a2+a3=36a_1 + a_2 + a_3 = 36
Exercițiul 2
Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+2x+4f(x) = x^2 + 2x + 4.

Rezolvare

1
2 puncte
xV=−1x_V = -1
2
3 puncte
yV=3y_V = 3
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația (3x−1)(3x−3)=0(3^x - 1)(3^x - 3) = 0.

Rezolvare

1
2 puncte
3x=13^x = 1 sau 3x=33^x = 3
2
3 puncte
x=0x = 0 sau x=1x = 1
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să conțină cifra 11.

Rezolvare

1
2 puncte
Sunt 1818 numere de două cifre care conțin cifra 11, deci sunt 1818 cazuri favorabile
2
1 punct
Sunt 9090 de numere de două cifre, deci sunt 9090 de cazuri posibile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=1890=15p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{18}{90} = \frac{1}{5}
Exercițiul 5
Se consideră triunghiul echilateral ABCABC cu AB=2AB = 2. Calculați lungimea vectorului AB⃗+BC⃗\vec{AB} + \vec{BC}.

Rezolvare

1
2 puncte
AB⃗+BC⃗=AC⃗\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}
2
3 puncte
△ABC\triangle ABC echilateral ⇒AC=2\Rightarrow AC = 2
Exercițiul 6
Calculați aria triunghiului isoscel ABCABC știind că A=π2A = \frac{\pi}{2} și AC=4AC = 4.

Rezolvare

1
2 puncte
△ABC\triangle ABC dreptunghic isoscel ⇒AB=4\Rightarrow AB = 4
2
3 puncte
A△ABC=4⋅42=8\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \frac{4 \cdot 4}{2} = 8

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(2aaa22aa2)A(a) = \begin{pmatrix} 2 & a & a \\ a & 2 & 2 \\ a & a & 2 \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=8\det(A(0)) = 8. b) Determinați numerele reale aa pentru care det⁡(A(a))=0\det(A(a)) = 0. c) Determinați matricea X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} știind că A(1)⋅X=(454)A(1) \cdot X = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
det⁡(A(0))=∣200022002∣=\det(A(0)) = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=8+0+0−0−0−0=8= 8 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 8
b)5 puncte
3
3 puncte
det⁡(A(a))=∣2aaa22aa2∣=(a−2)2(a+2)\det(A(a)) = \begin{vmatrix} 2 & a & a \\ a & 2 & 2 \\ a & a & 2 \end{vmatrix} = (a - 2)^2(a + 2)
4
2 puncte
(a−2)2(a+2)=0⇔a=−2(a - 2)^2(a + 2) = 0 \Leftrightarrow a = -2 sau a=2a = 2
c)5 puncte
5
2 puncte
(211122112)⋅(xyz)=(454)⇒{2x+y+z=4x+2y+2z=5x+y+2z=4\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{cases} 2x + y + z = 4 \\ x + 2y + 2z = 5 \\ x + y + 2z = 4 \end{cases}
6
3 puncte
X=(111)X = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
Exercițiul 2
Se consideră x1x_1, x2x_2, x3x_3 rădăcinile polinomului f=X3−2X2+3X+mf = X^3 - 2X^2 + 3X + m, unde mm este număr real. a) Calculați f(1)f(1). b) Arătați că x12+x22+x32=−2x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = -2. c) Determinați numărul real mm știind că x13+x23+x33=8x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 8.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
f(1)=13−2⋅12+3⋅1+m=f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 + m =
2
3 puncte
=m+2= m + 2
b)5 puncte
3
2 puncte
x1+x2+x3=2x_1 + x_2 + x_3 = 2, x1x2+x1x3+x2x3=3x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = 3
4
3 puncte
x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)=22−2⋅3=−2x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) = 2^2 - 2 \cdot 3 = -2
c)5 puncte
5
2 puncte
(x13+x23+x33)−2(x12+x22+x32)+3(x1+x2+x3)+3m=0(x_1^3 + x_2^3 + x_3^3) - 2(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) + 3(x_1 + x_2 + x_3) + 3m = 0
6
3 puncte
x13+x23+x33=−3m−10⇒m=−6x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = -3m - 10 \Rightarrow m = -6

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}. a) Arătați că f′(x)=1−ln⁡xx2f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați ecuația asimptotei spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Arătați că f(x)≤1ef(x) \leq \frac{1}{e} pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
f′(x)=(ln⁡x)′⋅x−ln⁡x⋅x′x2=f'(x) = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot x'}{x^2} =
2
3 puncte
=1x⋅x−ln⁡xx2=1−ln⁡xx2= \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
3 puncte
lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞ln⁡xx=lim⁡x→+∞1x=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=0y = 0 este asimptotă orizontală spre +∞+\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
3 puncte
f′(e)=0f'(e) = 0, f′(x)>0f'(x) > 0 pentru orice x∈(0,e)x \in (0, e) și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru orice x∈(e,+∞)x \in (e, +\infty)
6
2 puncte
f(x)≤f(e)⇒f(x)≤1ef(x) \leq f(e) \Rightarrow f(x) \leq \frac{1}{e} pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+x+1f(x) = x^2 + x + 1. a) Arătați că ∫01f(x) dx=116\displaystyle\int_0^1 f(x) \, dx = \frac{11}{6}. b) Pentru fiecare număr natural nenul nn se consideră numărul In=∫01xnf(x) dxI_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{x^n}{f(x)} \, dx. Arătați că In+1≤InI_{n+1} \leq I_n pentru orice număr natural nenul nn. c) Determinați numărul real pozitiv aa știind că ∫0a2x+1f(x) dx=ln⁡3\displaystyle\int_0^a \frac{2x + 1}{f(x)} \, dx = \ln 3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫01f(x) dx=∫01(x2+x+1) dx=(x33+x22+x)∣01=\displaystyle\int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^1 (x^2 + x + 1) \, dx = \left(\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x\right)\bigg|_0^1 =
2
2 puncte
=13+12+1=116= \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{11}{6}
b)5 puncte
3
2 puncte
In+1−In=∫01xn(x−1)x2+x+1 dxI_{n+1} - I_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{x^n(x - 1)}{x^2 + x + 1} \, dx pentru orice număr natural nenul nn
4
3 puncte
Pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^* și x∈[0,1]x \in [0, 1] avem xn≥0x^n \geq 0, x−1≤0x - 1 \leq 0 și x2+x+1>0⇒In+1≤Inx^2 + x + 1 > 0 \Rightarrow I_{n+1} \leq I_n
c)5 puncte
5
3 puncte
∫0a2x+1f(x) dx=∫0a2x+1x2+x+1 dx=(ln⁡(x2+x+1))∣0a=ln⁡(a2+a+1)\displaystyle\int_0^a \frac{2x + 1}{f(x)} \, dx = \int_0^a \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1} \, dx = \left(\ln(x^2 + x + 1)\right)\bigg|_0^a = \ln(a^2 + a + 1)
6
2 puncte
ln⁡(a2+a+1)=ln⁡3⇔a2+a+1=3\ln(a^2 + a + 1) = \ln 3 \Leftrightarrow a^2 + a + 1 = 3 care are soluția pozitivă a=1a = 1

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare 2014 — Tehnologic

Următor →

Bac Vară 2014 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac