BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2018 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați produsul primilor trei termeni ai progresiei geometrice (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1}, știind că b2=4b_2 = 4.

Rezolvare

1
2 puncte
b1b3=b22b_1 b_3 = b_2^2
2
3 puncte
b1b2b3=b23=43=64b_1 b_2 b_3 = b_2^3 = 4^3 = 64
Exercițiul 2
Se consideră funcțiile f,g:R→Rf, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(x−1)2f(x) = (x - 1)^2 și g(x)=2018−xg(x) = 2018 - x. Calculați g(f(1))g(f(1)).

Rezolvare

1
2 puncte
f(1)=0f(1) = 0
2
3 puncte
g(f(1))=g(0)=2018g(f(1)) = g(0) = 2018
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 25x=5x225^x = 5^{x^2}.

Rezolvare

1
3 puncte
52x=5x2⇔x2−2x=05^{2x} = 5^{x^2} \Leftrightarrow x^2 - 2x = 0
2
2 puncte
x=0x = 0 sau x=2x = 2
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor egală cu 99.

Rezolvare

1
1 punct
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile
2
2 puncte
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 1010 numere care au cifra zecilor egală cu 99, deci sunt 1010 cazuri favorabile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=1090=19p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{10}{90} = \frac{1}{9}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră dreapta dd de ecuație (a−1)x−a2y−a2=0(a - 1)x - a^2 y - a^2 = 0, unde aa este număr real nenul. Determinați numărul real nenul aa, știind că dreapta dd este paralelă cu axa OxOx.

Rezolvare

1
2 puncte
md=a−1a2m_d = \frac{a - 1}{a^2}
2
3 puncte
Dreapta dd este paralelă cu axa Ox⇔a−1a2=0Ox \Leftrightarrow \frac{a - 1}{a^2} = 0, deci a=1a = 1
Exercițiul 6
Arătați că tg⁡x+ctg⁡x=52\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x = \frac{5}{2}, știind că sin⁡x=15\sin x = \frac{1}{\sqrt{5}} și x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right).

Rezolvare

1
2 puncte
Cum sin⁡x=15\sin x = \frac{1}{\sqrt{5}} și x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right), obținem cos⁡x=25\cos x = \frac{2}{\sqrt{5}}
2
3 puncte
tg⁡x+ctg⁡x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=115⋅25=52\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}}} = \frac{5}{2}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și A(x)=(x+2x1−2)A(x) = \begin{pmatrix} x + 2 & x \\ 1 & -2 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(1))=−7\det(A(1)) = -7. b) Demonstrați că xA(y)−yA(x)=(x−y)A(0)xA(y) - yA(x) = (x - y)A(0), pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați numerele reale aa, știind că (aA(−1)+A(a))A(0)=(a2+7)I2(aA(-1) + A(a))A(0) = (a^2 + 7)I_2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
A(1)=(311−2)⇒det⁡(A(1))=∣311−2∣=3⋅(−2)−1⋅1=A(1) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 3 \cdot (-2) - 1 \cdot 1 =
2
2 puncte
=−6−1=−7= -6 - 1 = -7
b)5 puncte
3
2 puncte
xA(y)−yA(x)=x(y+2y1−2)−y(x+2x1−2)=(xy+2x−yx−2yxy−yxx−y−2x+2y)=xA(y) - yA(x) = x\begin{pmatrix} y + 2 & y \\ 1 & -2 \end{pmatrix} - y\begin{pmatrix} x + 2 & x \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} xy + 2x - yx - 2y & xy - yx \\ x - y & -2x + 2y \end{pmatrix} =
4
3 puncte
=(2(x−y)0x−y−2(x−y))=(x−y)(201−2)=(x−y)A(0)= \begin{pmatrix} 2(x - y) & 0 \\ x - y & -2(x - y) \end{pmatrix} = (x - y)\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = (x - y)A(0), pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
3 puncte
aA(−1)−(−1)A(a)=(a+1)A(0)⇒(aA(−1)+A(a))A(0)=(a+1)A(0)⋅A(0)=4(a+1)I2aA(-1) - (-1)A(a) = (a + 1)A(0) \Rightarrow (aA(-1) + A(a))A(0) = (a + 1)A(0) \cdot A(0) = 4(a + 1)I_2
6
2 puncte
4(a+1)=a2+7⇔a=14(a + 1) = a^2 + 7 \Leftrightarrow a = 1 sau a=3a = 3
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=4X3−6X+mf = 4X^3 - 6X + m, unde mm este număr real. a) Pentru m=2m = 2, arătați că f(1)=0f(1) = 0. b) Demonstrați că, oricare ar fi numărul real mm, polinomul ff nu se divide cu polinomul X2+X+1X^2 + X + 1. c) Determinați numărul real nenul mm, știind că (1x1+1x2+1x3)2=1x1⋅1x2⋅1x3\left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}\right)^2 = \frac{1}{x_1} \cdot \frac{1}{x_2} \cdot \frac{1}{x_3}, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f=4X3−6X+2⇒f(1)=4⋅13−6⋅1+2=f = 4X^3 - 6X + 2 \Rightarrow f(1) = 4 \cdot 1^3 - 6 \cdot 1 + 2 =
2
2 puncte
=4−6+2=0= 4 - 6 + 2 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
Restul împărțirii polinomului ff la X2+X+1X^2 + X + 1 este egal cu −6X+m+4-6X + m + 4. Cum pentru orice număr real mm restul este nenul, polinomul ff nu se divide cu X2+X+1X^2 + X + 1
4
2 puncte
(restul nenul deoarece −6≠0-6 \neq 0, deci nu poate fi polinomul nul)
c)5 puncte
5
3 puncte
x1x2+x1x3+x2x3=−32x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = -\frac{3}{2}, x1x2x3=−m4⇒1x1+1x2+1x3=x1x2+x2x3+x3x1x1x2x3=6mx_1 x_2 x_3 = -\frac{m}{4} \Rightarrow \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = \frac{x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1}{x_1 x_2 x_3} = \frac{6}{m}
6
2 puncte
(6m)2=−4m\left(\frac{6}{m}\right)^2 = -\frac{4}{m} și, cum mm este număr real nenul, obținem m=−9m = -9

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=1−ln⁡xx−1xf(x) = 1 - \frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x}. a) Arătați că f′(x)=ln⁡xx2f'(x) = \frac{\ln x}{x^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=1x = 1, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că ln⁡x2x≤1−1x\frac{\ln x}{2\sqrt{x}} \leq 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=0−1x⋅x−ln⁡xx2−(−1x2)=f'(x) = 0 - \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x}{x^2} - \left(-\frac{1}{x^2}\right) =
2
2 puncte
=−1−ln⁡xx2+1x2=ln⁡xx2= -\frac{1 - \ln x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = \frac{\ln x}{x^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
f(1)=0f(1) = 0, f′(1)=0f'(1) = 0
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(1)=f′(1)(x−1)y - f(1) = f'(1)(x - 1), adică y=0y = 0
c)5 puncte
5
2 puncte
f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈(0,1]⇒fx \in (0, 1] \Rightarrow f este descrescătoare pe (0,1](0, 1] și f′(x)≥0f'(x) \geq 0, pentru orice x∈[1,+∞)⇒fx \in [1, +\infty) \Rightarrow f este crescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty)
6
3 puncte
f(x)≥f(1)⇒f(x)≥0f(x) \geq f(1) \Rightarrow f(x) \geq 0, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), deci f(x)≥0⇒1−ln⁡xx−1x≥0f(\sqrt{x}) \geq 0 \Rightarrow 1 - \frac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}} \geq 0, deci ln⁡x2x≤1−1x\frac{\ln x}{2\sqrt{x}} \leq 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→Rf : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=3x2+1x+1f(x) = 3x^2 + \frac{1}{x + 1}. a) Arătați că ∫02(x+1)f(x) dx=22\displaystyle\int_0^2 (x + 1) f(x)\, dx = 22. b) Calculați ∫01(f(x)−1x+1)ex3 dx\displaystyle\int_0^1 \left(f(x) - \frac{1}{x + 1}\right) e^{x^3}\, dx. c) Determinați numărul natural nenul nn, știind că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției g:[0,1]→Rg : [0, 1] \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)−3x2g(x) = f(x) - 3x^2 este egal cu πn\frac{\pi}{n}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫02(x+1)f(x) dx=∫02(3x3+3x2+1) dx=(3x44+x3+x)∣02=\displaystyle\int_0^2 (x + 1) f(x)\, dx = \int_0^2 (3x^3 + 3x^2 + 1)\, dx = \left.\left(\frac{3x^4}{4} + x^3 + x\right)\right|_0^2 =
2
2 puncte
=12+8+2=22= 12 + 8 + 2 = 22
b)5 puncte
3
3 puncte
∫01(f(x)−1x+1)ex3 dx=∫013x2ex3 dx=ex3∣01=\displaystyle\int_0^1 \left(f(x) - \frac{1}{x + 1}\right) e^{x^3}\, dx = \int_0^1 3x^2 e^{x^3}\, dx = \left. e^{x^3}\right|_0^1 =
4
2 puncte
=e−1= e - 1
c)5 puncte
5
3 puncte
g(x)=1x+1⇒V=π∫01g2(x) dx=π∫011(x+1)2 dx=−πx+1∣01=−π2+π=π2g(x) = \frac{1}{x + 1} \Rightarrow V = \pi \int_0^1 g^2(x)\, dx = \pi \int_0^1 \frac{1}{(x + 1)^2}\, dx = \left. -\frac{\pi}{x + 1}\right|_0^1 = -\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{\pi}{2}
6
2 puncte
πn=π2⇔n=2\frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow n = 2

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2018 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Vară 2018 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac