BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2023 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 3⋅(1+12)−12=43 \cdot \left(1 + \frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} = 4.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează 3⋅(1+12)−12=3⋅32−12=92−123 \cdot \left(1 + \frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = \frac{9}{2} - \frac{1}{2}.
2
2 puncte
Se obține 92−12=82=4\frac{9}{2} - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+2f(x) = x + 2. Determinați numărul real aa pentru care f(a)=6f(a) = 6.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează f(a)=a+2f(a) = a + 2, pentru orice număr real aa.
2
3 puncte
Din condiția f(a)=6f(a) = 6 rezultă a+2=6a + 2 = 6, de unde obținem a=4a = 4.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡7(2x+1)=log⁡79\log_7(2x + 1) = \log_7 9.

Rezolvare

1
3 puncte
Din log⁡7(2x+1)=log⁡79\log_7(2x + 1) = \log_7 9 rezultă 2x+1=92x + 1 = 9.
2
2 puncte
Se obține x=4x = 4, care convine.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea A={1,2,3,…,23}A = \{1, 2, 3, \ldots, 23\}, acesta să verifice inegalitatea n≥10n \geq 10.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea AA are 2323 de elemente, deci sunt 2323 de cazuri posibile.
2
3 puncte
În mulțimea AA sunt 1414 numere nn care verifică inegalitatea n≥10n \geq 10, deci sunt 1414 cazuri favorabile, de unde obținem p=1423p = \frac{14}{23}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(−1,2)A(-1, 2) și B(1,6)B(1, 6). Determinați coordonatele mijlocului segmentului ABAB.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează xM=−1+12=0x_M = \frac{-1 + 1}{2} = 0, unde punctul MM este mijlocul segmentului ABAB.
2
2 puncte
Se calculează yM=2+62=4y_M = \frac{2 + 6}{2} = 4, deci M(0,4)M(0, 4).
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AC=2AC = \sqrt{2} și BC=2BC = 2. Arătați că triunghiul ABCABC este isoscel.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează AB=BC2−AC2=4−2=2AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}.
2
2 puncte
Se obține AB=AC=2AB = AC = \sqrt{2}, deci triunghiul ABCABC este isoscel.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(3221)A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, B=(0442)B = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} și C=(−1221)C = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}. a) Arătați că det⁡A=−1\det A = -1. b) Arătați că 2B−A=3C2B - A = 3C. c) Determinați matricea X∈M2(R)X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care 2X⋅A=B+2C2X \cdot A = B + 2C.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează det⁡A=∣3221∣=3⋅1−2⋅2\det A = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 2.
2
2 puncte
Se obține det⁡A=3−4=−1\det A = 3 - 4 = -1.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează 2B−A=(0884)−(3221)=(−3663)2B - A = \begin{pmatrix} 0 & 8 \\ 8 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 6 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}.
4
2 puncte
Se calculează 3C=3(−1221)=(−3663)3C = 3 \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 6 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}, deci 2B−A=3C2B - A = 3C.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează B+2C=(−2884)B + 2C = \begin{pmatrix} -2 & 8 \\ 8 & 4 \end{pmatrix} și A−1=(−122−3)A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}.
6
2 puncte
Se obține X=12(B+2C)⋅A−1X = \frac{1}{2}(B + 2C) \cdot A^{-1}, de unde X=(9−1402)X = \begin{pmatrix} 9 & -14 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x−4)(y−4)+4x * y = (x - 4)(y - 4) + 4. a) Arătați că 5∗4=45 * 4 = 4. b) Determinați numărul real xx pentru care x∗6=6xx * 6 = 6x. c) Determinați numerele naturale nenule nn pentru care 4n∗n>4\frac{4}{n} * n > 4.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează 5∗4=(5−4)(4−4)+4=1⋅0+45 * 4 = (5 - 4)(4 - 4) + 4 = 1 \cdot 0 + 4.
2
2 puncte
Se obține 5∗4=0+4=45 * 4 = 0 + 4 = 4.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează x∗6=(x−4)(6−4)+4=2(x−4)+4=2x−4x * 6 = (x - 4)(6 - 4) + 4 = 2(x - 4) + 4 = 2x - 4, pentru orice număr real xx.
4
2 puncte
Din condiția 2x−4=6x2x - 4 = 6x rezultă −4x=4-4x = 4, de unde obținem x=−1x = -1.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se calculează 4n∗n=(4n−4)(n−4)+4>4\frac{4}{n} * n = \left(\frac{4}{n} - 4\right)(n - 4) + 4 > 4, adică (4n−4)(n−4)>0\left(\frac{4}{n} - 4\right)(n - 4) > 0, echivalent cu (1n−1)(n−4)>0\left(\frac{1}{n} - 1\right)(n - 4) > 0, unde nn este număr natural nenul.
6
3 puncte
Cum nn este număr natural nenul, obținem n=2n = 2 și n=3n = 3.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3+6x2−15x+9f(x) = x^3 + 6x^2 - 15x + 9. a) Arătați că f′(x)=3(x2+4x−5)f'(x) = 3(x^2 + 4x - 5), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff. c) Arătați că lim⁡x→+∞f′(x)ex⋅f′′(x)=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{e^x \cdot f''(x)} = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se derivează: f′(x)=3x2+6⋅2x−15=3x2+12x−15f'(x) = 3x^2 + 6 \cdot 2x - 15 = 3x^2 + 12x - 15.
2
2 puncte
Se obține f′(x)=3(x2+4x−5)f'(x) = 3(x^2 + 4x - 5), x∈Rx \in \mathbb{R}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Din f′(x)=0f'(x) = 0 rezultă x=−5x = -5 sau x=1x = 1.
4
3 puncte
f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru orice x∈(−∞,−5]x \in (-\infty, -5], deci ff este crescătoare pe (−∞,−5](-\infty, -5]; f′(x)≤0f'(x) \leq 0 pentru orice x∈[−5,1]x \in [-5, 1], deci ff este descrescătoare pe [−5,1][-5, 1]; f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru orice x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty), deci ff este crescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty).
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează f′′(x)=3(2x+4)f''(x) = 3(2x + 4), x∈Rx \in \mathbb{R}, deci lim⁡x→+∞f′(x)ex⋅f′′(x)=lim⁡x→+∞x2+4x−5ex(2x+4)=lim⁡x→+∞2x+4ex(2x+4)+ex⋅2=lim⁡x→+∞2x+4ex(2x+6)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{e^x \cdot f''(x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 4x - 5}{e^x(2x + 4)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 4}{e^x(2x + 4) + e^x \cdot 2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 4}{e^x(2x + 6)}.
6
2 puncte
Se aplică din nou L'Hôpital: lim⁡x→+∞2ex(2x+6)+2ex=lim⁡x→+∞2ex(2x+8)=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x(2x + 6) + 2e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x(2x + 8)} = 0.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(−9,+∞)→Rf : (-9, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=8xx+9f(x) = \frac{8x}{x + 9}. a) Arătați că ∫01(x+9)⋅f(x) dx=4\displaystyle\int_0^1 (x + 9) \cdot f(x)\,dx = 4. b) Arătați că ∫1618x⋅f(x) dx=ln⁡32\displaystyle\int_1^6 \frac{1}{8x} \cdot f(x)\,dx = \ln\frac{3}{2}. c) Determinați numărul real aa pentru care ∫03f(x2) dx=6(4+aπ)\displaystyle\int_0^3 f(x^2)\,dx = 6(4 + a\pi).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează ∫01(x+9)⋅8xx+9 dx=∫018x dx=4x2∣01\displaystyle\int_0^1 (x + 9) \cdot \frac{8x}{x + 9}\,dx = \int_0^1 8x\,dx = 4x^2 \Big|_0^1.
2
2 puncte
Se obține 4⋅1−4⋅0=44 \cdot 1 - 4 \cdot 0 = 4.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează ∫1618x⋅8xx+9 dx=∫161x+9 dx=∫16(x+9)′x+9 dx=ln⁡(x+9)∣16\displaystyle\int_1^6 \frac{1}{8x} \cdot \frac{8x}{x + 9}\,dx = \int_1^6 \frac{1}{x + 9}\,dx = \int_1^6 \frac{(x + 9)'}{x + 9}\,dx = \ln(x + 9) \Big|_1^6.
4
2 puncte
Se obține ln⁡15−ln⁡10=ln⁡1510=ln⁡32\ln 15 - \ln 10 = \ln\frac{15}{10} = \ln\frac{3}{2}.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează ∫03f(x2) dx=∫038x2x2+9 dx=8∫03(1−9x2+9)dx=8x∣03−8⋅93⋅arctan⁡x3∣03=24−24⋅π4=24−6π\displaystyle\int_0^3 f(x^2)\,dx = \int_0^3 \frac{8x^2}{x^2 + 9}\,dx = 8\int_0^3 \left(1 - \frac{9}{x^2 + 9}\right)dx = 8x \Big|_0^3 - 8 \cdot \frac{9}{3} \cdot \arctan\frac{x}{3} \Big|_0^3 = 24 - 24 \cdot \frac{\pi}{4} = 24 - 6\pi.
6
2 puncte
Din 24−6π=6(4+aπ)24 - 6\pi = 6(4 + a\pi) rezultă 24−6π=24+6aπ24 - 6\pi = 24 + 6a\pi, de unde obținem a=−1a = -1.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2023 — Științele Naturii

Următor →

Bac Specială 2023 — Matematică-Informatică (Varianta 6)

← Înapoi la arhiva completă Bac