BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară Rezervă 2014 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați numărul real xx știind că numerele 22, 44 și x+5x + 5 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Rezolvare

1
2 puncte
2⋅(x+5)=422 \cdot (x + 5) = 4^2
2
3 puncte
x=3x = 3
Exercițiul 2
Arătați că parabola asociată funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+x+4f(x) = x^2 + x + 4 este situată deasupra axei OxOx.

Rezolvare

1
2 puncte
Δ=1−16=−15\Delta = 1 - 16 = -15
2
3 puncte
a=1>0a = 1 > 0 și Δ<0\Delta < 0, deci parabola asociată funcției ff este situată deasupra axei OxOx
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2−13=2\sqrt[3]{x^2 - 1} = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
x2−1=8⇔x2−9=0x^2 - 1 = 8 \Leftrightarrow x^2 - 9 = 0
2
2 puncte
x1=−3x_1 = -3 și x2=3x_2 = 3
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă suma cifrelor egală cu 77.

Rezolvare

1
2 puncte
Sunt 77 numere de două cifre care au suma cifrelor egală cu 77, deci sunt 77 cazuri favorabile
2
1 punct
Sunt 9090 de numere de două cifre, deci sunt 9090 de cazuri posibile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=790p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{7}{90}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(−1,4)A(-1, 4) și B(1,2)B(1, 2). Determinați lungimea vectorului OM⃗\vec{OM}, unde punctul MM este mijlocul segmentului ABAB.

Rezolvare

1
2 puncte
M(0,3)M(0, 3)
2
3 puncte
OM=3OM = 3
Exercițiul 6
Știind că x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) și cos⁡x=32\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}, calculați sin⁡2x\sin 2x.

Rezolvare

1
2 puncte
x=π6x = \frac{\pi}{6}
2
3 puncte
sin⁡2x=sin⁡π3=32\sin 2x = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(12x004x+1003x1)A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 2x & 0 \\ 0 & 4x + 1 & 0 \\ 0 & 3x & 1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=1\det(A(0)) = 1. b) Arătați că A(x)⋅A(y)=A(x+y+4xy)A(x) \cdot A(y) = A(x + y + 4xy) pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați numerele reale xx, x≠−14x \neq -\frac{1}{4}, pentru care matricea A(x)A(x) este egală cu inversa ei.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) det⁡(A(0))=∣100010001∣=\det(A(0)) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=1+0+0−0−0−0=1= 1 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(x)⋅A(y)=(12x004x+1003x1)⋅(12y004y+1003y1)=(12x+2y+8xy004x+4y+16xy+1003x+3y+12xy1)A(x) \cdot A(y) = \begin{pmatrix} 1 & 2x & 0 \\ 0 & 4x+1 & 0 \\ 0 & 3x & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2y & 0 \\ 0 & 4y+1 & 0 \\ 0 & 3y & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2x+2y+8xy & 0 \\ 0 & 4x+4y+16xy+1 & 0 \\ 0 & 3x+3y+12xy & 1 \end{pmatrix}
4
2 puncte
=(12(x+y+4xy)004(x+y+4xy)+1003(x+y+4xy)1)=A(x+y+4xy)= \begin{pmatrix} 1 & 2(x+y+4xy) & 0 \\ 0 & 4(x+y+4xy)+1 & 0 \\ 0 & 3(x+y+4xy) & 1 \end{pmatrix} = A(x+y+4xy) pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A(x)⋅A(x)=I3⇒A(2x+4x2)=A(0)⇒2x+4x2=0A(x) \cdot A(x) = I_3 \Rightarrow A(2x + 4x^2) = A(0) \Rightarrow 2x + 4x^2 = 0
6
2 puncte
x1=0x_1 = 0 și x2=−12x_2 = -\frac{1}{2}
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3+X2−4X+2af = X^3 + X^2 - 4X + 2a, unde aa este număr real. a) Calculați f(0)f(0). b) Determinați numărul real aa știind că 1+i1 + i este rădăcină a polinomului ff. c) Pentru a=3a = 3, arătați că x13+x23+x33=−31x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = -31, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

1
2 puncte
a) f(0)=03+02−4⋅0+2a=f(0) = 0^3 + 0^2 - 4 \cdot 0 + 2a =
2
3 puncte
=2a= 2a
3
1 punct
b) x1=1+i⇒x2=1−ix_1 = 1 + i \Rightarrow x_2 = 1 - i
4
2 puncte
x1+x2+x3=−1⇒x3=−3x_1 + x_2 + x_3 = -1 \Rightarrow x_3 = -3
5
2 puncte
x1x2x3=−2a⇒a=3x_1 x_2 x_3 = -2a \Rightarrow a = 3
6
3 puncte
c) x13+x23+x33=(1+i)3+(1−i)3+(−3)3=(2i−2)+(−2i−2)−27=−31x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = (1+i)^3 + (1-i)^3 + (-3)^3 = (2i - 2) + (-2i - 2) - 27 = -31

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(2,+∞)→Rf : (2, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2x−2f(x) = \frac{x^2}{x - 2}. a) Arătați că f′(x)=x(x−4)(x−2)2f'(x) = \frac{x(x - 4)}{(x - 2)^2}, x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x0=4x_0 = 4, situat pe graficul funcției ff. c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=(x2)′⋅(x−2)−x2⋅(x−2)′(x−2)2=f'(x) = \frac{(x^2)' \cdot (x - 2) - x^2 \cdot (x - 2)'}{(x - 2)^2} =
2
3 puncte
=2x(x−2)−x2(x−2)2=x(x−4)(x−2)2= \frac{2x(x - 2) - x^2}{(x - 2)^2} = \frac{x(x - 4)}{(x - 2)^2}, x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
b) y−f(4)=f′(4)(x−4)y - f(4) = f'(4)(x - 4)
4
3 puncte
f(4)=8f(4) = 8, f′(4)=0f'(4) = 0, deci ecuația tangentei este y=8y = 8
c)5 puncte
5
1 punct
c) f′(x)=0⇔x=4f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 4
6
2 puncte
f′(x)≤0f'(x) \leq 0 pentru orice x∈(2,4]x \in (2, 4], deci ff este descrescătoare pe (2,4](2, 4]
7
2 puncte
f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru orice x∈[4,+∞)x \in [4, +\infty), deci ff este crescătoare pe [4,+∞)[4, +\infty)
Exercițiul 2
Pentru fiecare număr natural nenul nn se consideră numărul In=∫01xnx3+1 dxI_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{x^n}{x^3 + 1} \, dx. a) Arătați că I2=13ln⁡2I_2 = \frac{1}{3} \ln 2. b) Arătați că In+3+In=1n+1I_{n+3} + I_n = \frac{1}{n + 1} pentru orice număr natural nenul nn. c) Calculați lim⁡n→+∞In\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_n.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) I2=∫01x2x3+1 dx=13∫013x2x3+1 dx=I_2 = \displaystyle\int_0^1 \frac{x^2}{x^3 + 1} \, dx = \frac{1}{3} \int_0^1 \frac{3x^2}{x^3 + 1} \, dx =
2
3 puncte
=13ln⁡(x3+1)∣01=13ln⁡2= \frac{1}{3} \ln(x^3 + 1) \Big|_0^1 = \frac{1}{3} \ln 2
b)5 puncte
3
3 puncte
b) In+3+In=∫01xn+3x3+1 dx+∫01xnx3+1 dx=∫01xn(x3+1)x3+1 dx=I_{n+3} + I_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{n+3}}{x^3 + 1} \, dx + \int_0^1 \frac{x^n}{x^3 + 1} \, dx = \int_0^1 \frac{x^n(x^3 + 1)}{x^3 + 1} \, dx =
4
2 puncte
=∫01xn dx=xn+1n+1∣01=1n+1= \displaystyle\int_0^1 x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \Big|_0^1 = \frac{1}{n+1} pentru orice număr natural nenul nn
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^* și x∈[0,1]x \in [0, 1] avem xn≥0x^n \geq 0, x3+1>0x^3 + 1 > 0, deci In≥0I_n \geq 0
6
3 puncte
In+3≥0I_{n+3} \geq 0 și In+3+In=1n+1I_{n+3} + I_n = \frac{1}{n+1}, deci 0≤In≤1n+10 \leq I_n \leq \frac{1}{n+1}, prin urmare lim⁡n→+∞In=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_n = 0

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2014 — Tehnologic (Varianta 9)

Următor →

Bac Vară Rezervă 2014 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac