BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară Rezervă 2014 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (1−12)2+34=1\left(1 - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
(1−12)2=14\left(1 - \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}
2
2 puncte
14+34=1\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1
Exercițiul 2
Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+4f(x) = x + 4 cu axa OyOy.

Rezolvare

1
3 puncte
f(0)=4f(0) = 4
2
2 puncte
Coordonatele punctului de intersecție sunt x=0x = 0 și y=4y = 4
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 33x−1=93^{3x-1} = 9.

Rezolvare

1
3 puncte
3x−1=23x - 1 = 2
2
2 puncte
x=1x = 1
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să fie mai mic sau egal cu 33.

Rezolvare

1
2 puncte
Numerele naturale de o cifră mai mici sau egale cu 33 sunt 00, 11, 22 și 33, deci sunt 44 cazuri favorabile
2
1 punct
Sunt 1010 numere naturale de o cifră, deci sunt 1010 cazuri posibile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=410=25p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,1)A(1, 1), B(4,1)B(4, 1) și C(4,4)C(4, 4). Arătați că AB=BCAB = BC.

Rezolvare

1
2 puncte
AB=3AB = 3
2
3 puncte
BC=3⇒AB=BCBC = 3 \Rightarrow AB = BC
Exercițiul 6
Determinați aria triunghiului ABCABC dreptunghic în AA știind că AB=6AB = 6 și BC=10BC = 10.

Rezolvare

1
2 puncte
AC=8AC = 8
2
3 puncte
A△ABC=6⋅82=24\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(1224)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} și I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. a) Arătați că det⁡A=0\det A = 0. b) Arătați că A⋅A=5AA \cdot A = 5A. c) Determinați numerele reale xx și yy pentru care A+(xyy−3)=I2A + \begin{pmatrix} x & y \\ y & -3 \end{pmatrix} = I_2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) det⁡A=∣1224∣=\det A = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=1⋅4−2⋅2=0= 1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A⋅A=(1224)⋅(1224)=(5101020)A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ 10 & 20 \end{pmatrix}
4
2 puncte
=5⋅(1224)=5A= 5 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = 5A
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A+(xyy−3)=(1224)+(xyy−3)=(1+x2+y2+y1)A + \begin{pmatrix} x & y \\ y & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x & y \\ y & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + x & 2 + y \\ 2 + y & 1 \end{pmatrix}
6
2 puncte
(1+x2+y2+y1)=(1001)⇔x=0\begin{pmatrix} 1 + x & 2 + y \\ 2 + y & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Leftrightarrow x = 0, y=−2y = -2
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y+xyx \circ y = x + y + xy. a) Arătați că (−1)∘1=−1(-1) \circ 1 = -1. b) Arătați că x∘y=(x+1)(y+1)−1x \circ y = (x + 1)(y + 1) - 1 pentru orice numere reale xx și yy. c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația (x+1)∘(x−3)=4(x + 1) \circ (x - 3) = 4.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) (−1)∘1=−1+1+(−1)⋅1=(-1) \circ 1 = -1 + 1 + (-1) \cdot 1 =
2
2 puncte
=0−1=−1= 0 - 1 = -1
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∘y=x+xy+y+1−1=x \circ y = x + xy + y + 1 - 1 =
4
3 puncte
=x(y+1)+(y+1)−1=(x+1)(y+1)−1= x(y + 1) + (y + 1) - 1 = (x + 1)(y + 1) - 1 pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
3 puncte
c) (x+2)(x−2)−1=4⇔x2−9=0(x + 2)(x - 2) - 1 = 4 \Leftrightarrow x^2 - 9 = 0
6
2 puncte
x1=−3x_1 = -3 și x2=3x_2 = 3

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(2,+∞)→Rf : (2, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x−1x−2f(x) = \frac{x - 1}{x - 2}. a) Arătați că lim⁡x→3f(x)=2\displaystyle\lim_{x \to 3} f(x) = 2. b) Arătați că f′(x)=−1(x−2)2f'(x) = -\frac{1}{(x - 2)^2}, x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty). c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x0=3x_0 = 3, situat pe graficul funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) lim⁡x→3f(x)=lim⁡x→3x−1x−2=\displaystyle\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{x - 1}{x - 2} =
2
3 puncte
=3−13−2=2= \frac{3 - 1}{3 - 2} = 2
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f′(x)=(x−1)′(x−2)−(x−1)(x−2)′(x−2)2=f'(x) = \frac{(x - 1)' (x - 2) - (x - 1)(x - 2)'}{(x - 2)^2} =
4
3 puncte
=x−2−x+1(x−2)2=−1(x−2)2= \frac{x - 2 - x + 1}{(x - 2)^2} = -\frac{1}{(x - 2)^2}, x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty)
c)5 puncte
5
2 puncte
c) y−f(3)=f′(3)(x−3)y - f(3) = f'(3)(x - 3)
6
3 puncte
f(3)=2f(3) = 2, f′(3)=−1f'(3) = -1, deci ecuația tangentei este y=−x+5y = -x + 5
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+2x+1f(x) = x^2 + 2x + 1. a) Arătați că ∫−11(2x+1) dx=2\displaystyle\int_{-1}^{1} (2x + 1) \, dx = 2. b) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției g:[0,1]→Rg : [0, 1] \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)−2x−1g(x) = f(x) - 2x - 1. c) Demonstrați că orice primitivă a funcției ff este o funcție crescătoare pe R\mathbb{R}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫−11(2x+1) dx=(x2+x)∣−11=\displaystyle\int_{-1}^{1} (2x + 1) \, dx = \left(x^2 + x\right) \Big|_{-1}^{1} =
2
2 puncte
=2−0=2= 2 - 0 = 2
b)5 puncte
3
2 puncte
b) V=π∫01g2(x) dx=π∫01x4 dx=V = \pi \displaystyle\int_0^1 g^2(x) \, dx = \pi \int_0^1 x^4 \, dx =
4
3 puncte
=π⋅x55∣01=π5= \pi \cdot \frac{x^5}{5} \Big|_0^1 = \frac{\pi}{5}
c)5 puncte
5
2 puncte
c) FF este o primitivă a funcției f⇒F′(x)=f(x)f \Rightarrow F'(x) = f(x)
6
3 puncte
F′(x)=(x+1)2≥0F'(x) = (x + 1)^2 \geq 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deci funcția FF este crescătoare pe R\mathbb{R}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară Rezervă 2014 — Științele Naturii

Următor →

Bac Toamnă 2014 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac