BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară Rezervă 2018 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (1−12)(1+0,5)=34\left(1 - \dfrac{1}{2}\right)(1 + 0{,}5) = \dfrac{3}{4}.

Rezolvare

1
3 puncte
(1−12)(1+0,5)=12⋅510=\left(1 - \dfrac{1}{2}\right)(1 + 0{,}5) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{10} =
2
2 puncte
=12⋅32=34= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{4}
Exercițiul 2
Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x−5f(x) = 3x - 5 și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=1−3xg(x) = 1 - 3x.

Rezolvare

1
3 puncte
3x−5=1−3x3x - 5 = 1 - 3x
2
2 puncte
x=1x = 1
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(x+5)=log⁡39\log_3(x + 5) = \log_3 9.

Rezolvare

1
3 puncte
x+5=9x + 5 = 9
2
2 puncte
x=4x = 4, care convine
Exercițiul 4
După o ieftinire cu 30%30\%, prețul unui obiect este 700700 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de ieftinire.

Rezolvare

1
3 puncte
x−30100⋅x=700x - \dfrac{30}{100} \cdot x = 700, unde xx este prețul obiectului înainte de ieftinire
2
2 puncte
x=1000x = 1000 de lei
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,6)A(0, 6) și B(8,0)B(8, 0). Determinați lungimea medianei din vârful OO în triunghiul AOBAOB.

Rezolvare

1
2 puncte
Triunghiul AOBAOB este dreptunghic în OO, AB=10AB = 10
2
3 puncte
Lungimea medianei din OO este egală cu AB2=102=5\dfrac{AB}{2} = \dfrac{10}{2} = 5
Exercițiul 6
Arătați că 2⋅sin⁡45∘−(sin⁡30∘+cos⁡60∘)=0\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ - (\sin 30^\circ + \cos 60^\circ) = 0.

Rezolvare

1
3 puncte
sin⁡45∘=22\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}, cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}
2
2 puncte
2⋅22−(12+12)=22−1=0\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{2}{2} - 1 = 0

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(13−12)A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și B(x)=(2x11)B(x) = \begin{pmatrix} 2 & x \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡A=5\det A = 5. b) Arătați că, dacă A+B(x)=3I2A + B(x) = 3I_2, atunci A⋅B(x)=5I2A \cdot B(x) = 5I_2. c) Determinați numerele reale xx pentru care det⁡(B(x)⋅B(x)−I2)=0\det(B(x) \cdot B(x) - I_2) = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
det⁡A=∣13−12∣=1⋅2−(−1)⋅3=\det A = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - (-1) \cdot 3 =
2
2 puncte
=2+3=5= 2 + 3 = 5
b)5 puncte
3
3 puncte
(13−12)+(2x11)=3(1001)⇔(33+x03)=(3003)⇔x=−3\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & x \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 3\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 3 & 3+x \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \Leftrightarrow x = -3
4
2 puncte
A⋅B(−3)=(13−12)(2−311)=(5005)=5I2A \cdot B(-3) = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = 5I_2
c)5 puncte
5
2 puncte
B(x)⋅B(x)−I2=(4+x3x3x+1)−(1001)=(3+x3x3x)B(x) \cdot B(x) - I_2 = \begin{pmatrix} 4+x & 3x \\ 3 & x+1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+x & 3x \\ 3 & x \end{pmatrix}
6
3 puncte
∣3+x3x3x∣=0⇔x2−6x=0⇔x=0\begin{vmatrix} 3+x & 3x \\ 3 & x \end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0 sau x=6x = 6
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−9(x+y)+90x \circ y = xy - 9(x + y) + 90. a) Arătați că 10∘8=810 \circ 8 = 8. b) Demonstrați că x∘y=(x−9)(y−9)+9x \circ y = (x - 9)(y - 9) + 9, pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați numerele naturale nn pentru care n∘n≤10n \circ n \leq 10.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
10∘8=10⋅8−9(10+8)+90=10 \circ 8 = 10 \cdot 8 - 9(10 + 8) + 90 =
2
2 puncte
=80−162+90=8= 80 - 162 + 90 = 8
b)5 puncte
3
2 puncte
x∘y=xy−9x−9y+81+9=x \circ y = xy - 9x - 9y + 81 + 9 =
4
3 puncte
=x(y−9)−9(y−9)+9=(x−9)(y−9)+9= x(y - 9) - 9(y - 9) + 9 = (x - 9)(y - 9) + 9, pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
2 puncte
(n−9)2+9≤10⇔(n−10)(n−8)≤0(n - 9)^2 + 9 \leq 10 \Leftrightarrow (n - 10)(n - 8) \leq 0
6
3 puncte
Cum nn este număr natural, obținem n=8n = 8, n=9n = 9 sau n=10n = 10

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x−1x2+3f(x) = \dfrac{x - 1}{x^2 + 3}. a) Arătați că f′(x)=(3−x)(x+1)(x2+3)2f'(x) = \dfrac{(3 - x)(x + 1)}{(x^2 + 3)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Demonstrați că −1≤f(x)+f(y)≤13-1 \leq f(x) + f(y) \leq \dfrac{1}{3}, pentru orice numere reale xx și yy.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=1⋅(x2+3)−(x−1)⋅2x(x2+3)2=f'(x) = \dfrac{1 \cdot (x^2 + 3) - (x - 1) \cdot 2x}{(x^2 + 3)^2} =
2
2 puncte
=−x2+2x+3(x2+3)2=(3−x)(x+1)(x2+3)2= \dfrac{-x^2 + 2x + 3}{(x^2 + 3)^2} = \dfrac{(3 - x)(x + 1)}{(x^2 + 3)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
3 puncte
lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x−1x2+3=lim⁡x→+∞1−1xx(1+3x2)=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x - 1}{x^2 + 3} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1 - \frac{1}{x}}{x\left(1 + \frac{3}{x^2}\right)} = 0
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=0y = 0 este asimptotă orizontală spre +∞+\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
2 puncte
f′(x)≤0f'(x) \leq 0 pentru orice x∈(−∞,−1]x \in (-\infty, -1], deci ff este descrescătoare pe (−∞,−1](-\infty, -1]; f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru orice x∈[−1,3]x \in [-1, 3], deci ff este crescătoare pe [−1,3][-1, 3]; f′(x)≤0f'(x) \leq 0 pentru orice x∈[3,+∞)x \in [3, +\infty), deci ff este descrescătoare pe [3,+∞)[3, +\infty)
6
3 puncte
lim⁡x→−∞f(x)=0\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0, f(−1)=−12f(-1) = -\dfrac{1}{2}, f(3)=16f(3) = \dfrac{1}{6} și lim⁡x→+∞f(x)=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0, deci −12≤f(x)≤16-\dfrac{1}{2} \leq f(x) \leq \dfrac{1}{6} și −12≤f(y)≤16-\dfrac{1}{2} \leq f(y) \leq \dfrac{1}{6}, de unde obținem −1≤f(x)+f(y)≤13-1 \leq f(x) + f(y) \leq \dfrac{1}{3}, pentru orice numere reale xx și yy
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=1ex+xf(x) = \dfrac{1}{e^x} + x. a) Arătați că ∫−11(f(x)−1ex)dx=0\displaystyle\int_{-1}^{1} \left(f(x) - \dfrac{1}{e^x}\right) dx = 0. b) Demonstrați că orice primitivă a funcției ff este concavă pe intervalul (−∞,0](-\infty, 0]. c) Calculați ∫01exf(x) dx\displaystyle\int_0^1 e^x f(x)\, dx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫−11(f(x)−1ex)dx=∫−11x dx=x22∣−11=\displaystyle\int_{-1}^{1} \left(f(x) - \dfrac{1}{e^x}\right) dx = \int_{-1}^{1} x\, dx = \left.\dfrac{x^2}{2}\right|_{-1}^{1} =
2
2 puncte
=12−12=0= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0
b)5 puncte
3
2 puncte
F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R} este o primitivă a lui f⇒F′(x)=f(x)f \Rightarrow F'(x) = f(x), F′′(x)=−1ex+1F''(x) = -\dfrac{1}{e^x} + 1, x∈Rx \in \mathbb{R}
4
3 puncte
F′′(x)≤0F''(x) \leq 0 pentru orice x∈(−∞,0]x \in (-\infty, 0], deci funcția FF este concavă pe intervalul (−∞,0](-\infty, 0]
c)5 puncte
5
3 puncte
∫01exf(x) dx=∫01(1+xex) dx=(x+(x−1)ex)∣01=\displaystyle\int_0^1 e^x f(x)\, dx = \int_0^1 (1 + xe^x)\, dx = \left.(x + (x - 1)e^x)\right|_0^1 =
6
2 puncte
=1+0−0−(−1)⋅e0=2= 1 + 0 - 0 - (-1) \cdot e^0 = 2

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară Rezervă 2018 — Științele Naturii

Următor →

Bac Toamnă 2018 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac