Grile de Aplicații ale derivatelor — Clasa a 11-a

294 întrebări cu variante de răspuns • Analiza Matematica

Teorie Aplicații ale derivatelor — Formule si exemple rezolvate

Probleme de Aplicații ale derivatelor

242 exerciții cu rezolvare pas cu pas

→
Ușor#1
Aflați abscisa punctului de minim al funcției f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3.
A) 11
B) 22
C) 33
D) 00
E) −1-1
F) 44

Explicație

Derivata funcției este f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4. Anulăm derivata: 2x−4=0⇒x=22x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2. Verificăm că este minim deoarece f′′(x)=2>0f''(x) = 2 > 0. Deci abscisa punctului de minim este 22.
Mediu#2
Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției f(x)=x2f(x) = x^2 în punctul x=1x = 1.
A) y=2x−1y = 2x - 1
B) y=x+1y = x + 1
C) y=2x+1y = 2x + 1
D) y=x−1y = x - 1
E) y=−2x+1y = -2x + 1
F) y=2xy = 2x

Explicație

Panta tangentei este derivata funcției în punctul dat: f′(x)=2xf'(x) = 2x, deci f′(1)=2f'(1) = 2. Ecuația tangentei: y−f(1)=f′(1)(x−1)y - f(1) = f'(1)(x - 1), adică y−1=2(x−1)⇒y=2x−1y - 1 = 2(x - 1) \Rightarrow y = 2x - 1.
Mediu#3
Fie funcția f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3. Determinați punctul de pe graficul funcției în care tangenta este orizontală.
A) (2,−1)(2, -1)
B) (2,0)(2, 0)
C) (0,3)(0, 3)
D) (4,3)(4, 3)
E) (1,0)(1, 0)
F) (−2,15)(-2, 15)

Explicație

Derivata funcției este f′(x)=2x−4f'(x)=2x-4. Tangenta este orizontală când f′(x)=0f'(x)=0, adică x=2x=2. Atunci f(2)=−1f(2)= -1, deci punctul este (2,−1)(2,-1).
Mediu#4
Pentru funcția g(x)=x3−3x2g(x) = x^3 - 3x^2, determinați intervalul pe care funcția este crescătoare.
A) (−∞,0)∪(2,∞)(-\infty, 0) \cup (2, \infty)
B) (0,2)(0, 2)
C) (−∞,2)(-\infty, 2)
D) (0,∞)(0, \infty)
E) (−∞,0)(-\infty, 0)
F) (2,∞)(2, \infty)

Explicație

Derivata este g′(x)=3x2−6x=3x(x−2)g'(x)=3x^2-6x=3x(x-2). Funcția este crescătoare când g′(x)>0g'(x)>0, adică pentru x<0x<0 sau x>2x>2, deci intervalul (−∞,0)∪(2,∞)(-\infty, 0) \cup (2, \infty).
Mediu#5
Fie funcția f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Determinați punctele de extrem ale funcției.
A) x=0x=0 și x=2x=2
B) x=1x=1
C) x=0x=0
D) x=2x=2
E) Nu are puncte de extrem
F) x=−1x=-1 și x=3x=3

Explicație

Se calculează derivata: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x. Se rezolvă f′(x)=0f'(x)=0, obținând x=0x=0 și x=2x=2. Se verifică semnul derivatei în jurul acestor puncte: la x=0x=0, derivata trece de la pozitiv la negativ (maxim), iar la x=2x=2, de la negativ la pozitiv (minim).
Mediu#6
Un obiect se mișcă pe o dreaptă după legea s(t)=t2−4t+3s(t) = t^2 - 4t + 3, unde ss este distanța în metri și tt timpul în secunde. Viteza instantanee la t=2t=2 secunde este:
A) 00 m/s
B) 22 m/s
C) −2-2 m/s
D) 44 m/s
E) 11 m/s
F) −4-4 m/s

Explicație

Viteza instantanee este derivata funcției poziție: v(t)=s′(t)=2t−4v(t) = s'(t) = 2t - 4. Se calculează v(2)=2⋅2−4=0v(2) = 2 \cdot 2 - 4 = 0 m/s. Aceasta indică că la t=2t=2, obiectul are viteză nulă (posibil punct de întoarcere).
Ușor#7
Determinați valoarea minimă a funcției f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
F) 5

Explicație

Derivata funcției este f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4. Se rezolvă f′(x)=0f'(x) = 0 și se obține x=2x = 2. Valoarea funcției în acest punct este f(2)=1f(2) = 1, care este minimul global deoarece funcția este convexă.
Mediu#8
Să se determine ecuația tangentei la graficul funcției f(x)=x2f(x) = x^2 în punctul x=1x = 1.
A) y=2xy = 2x
B) y=2x−1y = 2x - 1
C) y=x+1y = x + 1
D) y=x−1y = x - 1
E) y=2x+1y = 2x + 1
F) y=x2y = x^2

Explicație

Derivata funcției este f′(x)=2xf'(x) = 2x, deci panta tangentei în x=1x=1 este m=f′(1)=2m = f'(1) = 2. Punctul de tangență este (1,1)(1,1). Ecuația tangentei: y−1=2(x−1)y - 1 = 2(x - 1), adică y=2x−1y = 2x - 1.
Ușor#9
Fie funcția f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5. Determinați punctul de minim al funcției.
A) (2,1)(2,1)
B) (2,0)(2,0)
C) (1,2)(1,2)
D) (4,5)(4,5)
E) (0,5)(0,5)
F) (−2,17)(-2,17)

Explicație

Derivata funcției este f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4. Se rezolvă f′(x)=0⇒x=2f'(x) = 0 \Rightarrow x = 2. Se calculează f(2)=1f(2) = 1. Punctul de minim este (2,1)(2,1).
Mediu#10
Un mobil se mișcă pe o dreaptă conform legii s(t)=t2−6t+8s(t) = t^2 - 6t + 8, unde ss este poziția în metri și tt timpul în secunde. La ce moment tt viteza mobilului este zero?
A) t=3t = 3
B) t=2t = 2
C) t=4t = 4
D) t=0t = 0
E) t=1t = 1
F) t=6t = 6

Explicație

Viteza este derivata funcției poziție: v(t)=s′(t)=2t−6v(t) = s'(t) = 2t - 6. Se rezolvă v(t)=0⇒t=3v(t) = 0 \Rightarrow t = 3. Deci, la t=3t = 3 secunde viteza este zero.
Mediu#11
Să se determine ecuația tangentei la graficul funcției f(x)=x2f(x) = x^2 în punctul x0=1x_0 = 1.
A) y=2x+1y = 2x + 1
B) y=x2y = x^2
C) y=2xy = 2x
D) y=x+1y = x + 1
E) y=2x−2y = 2x - 2
F) y=2x−1y = 2x - 1

Explicație

Derivata funcției f(x)=x2f(x) = x^2 este f′(x)=2xf'(x) = 2x. Panta tangentei în x0=1x_0=1 este f′(1)=2f'(1)=2. Punctul de tangență este (1,f(1))=(1,1)(1, f(1)) = (1,1). Ecuația tangentei: y−1=2(x−1)y - 1 = 2(x - 1), adică y=2x−1y = 2x - 1.
Ușor#12
Să se determine punctul de minim al funcției f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5.
A) (0,5)(0,5)
B) (2,5)(2,5)
C) (4,5)(4,5)
D) (2,−1)(2,-1)
E) (1,2)(1,2)
F) (2,1)(2,1)

Explicație

Derivata funcției f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5 este f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4. Anulăm derivata: 2x−4=0⇒x=22x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2. Derivată a doua f′′(x)=2>0f''(x) = 2 > 0, deci punctul x=2x=2 este de minim. Valoarea minimă este f(2)=1f(2) = 1. Punctul de minim este (2,1)(2,1).

Și alte 282 grile disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Accesează toate cele 294 probleme de Aplicații ale derivatelor cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.