Clasa 11Analiză

Aplicații ale derivatelor — Teorie, Formule si Exemple

Aplicațiile derivatelor reunesc trei instrumente esențiale din programa de clasa a 11-a la Matematică M1: ecuația tangentei la curbă, teoremele lui Rolle și Lagrange, și regula lui L'Hôpital pentru limite nedeterminate de forma 00\frac{0}{0} sau ∞∞\frac{\infty}{\infty}. La Bacalaureat, aceste aplicații apar constant la Subiectul III — tangenta la grafic este cerută aproape în fiecare sesiune, iar demonstrațiile cu Rolle/Lagrange aduc puncte sigure dacă formulezi corect ipotezele.

Tangenta și normala la curbă

Ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x0x_0: y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) Panta tangentei: mt=f′(x0)m_t = f'(x_0). Ecuația normalei (perpendiculară pe tangentă în x0x_0, dacă f′(x0)≠0f'(x_0) \neq 0): y−f(x0)=−1f′(x0)(x−x0)y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0) Cazuri speciale:
  • Dacă f′(x0)=0f'(x_0) = 0: tangenta este orizontală (y=f(x0)y = f(x_0)), normala este verticală (x=x0x = x_0).
  • Dacă tangenta este paralelă cu dreapta y=mx+ny = mx + n: condiția este f′(x0)=mf'(x_0) = m.
usorTip Bac Subiectul III.1
Scrieți ecuația tangentei la f(x)=exf(x) = e^x în punctul de abscisă x0=0x_0 = 0.
1
2 puncte
f(0)=e0=1f(0) = e^0 = 1. Punctul de tangență: (0,1)(0, 1).
2
2 puncte
f′(x)=exf'(x) = e^x, deci f′(0)=1f'(0) = 1. Panta tangentei: m=1m = 1.
3
1 punct
Ecuația tangentei: y−1=1⋅(x−0)⇒y=x+1y - 1 = 1 \cdot (x - 0) \Rightarrow y = x + 1.
mediuTip Bac Subiectul III.1
Găsiți punctele graficului funcției f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x în care tangenta este orizontală.
1
2 puncte
Tangenta orizontală   ⟺  f′(x)=0\iff f'(x) = 0. f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1).
2
2 puncte
f′(x)=0⇒x=1f'(x) = 0 \Rightarrow x = 1 sau x=−1x = -1.
3
1 punct
Punctele: (1,f(1))=(1,−2)(1, f(1)) = (1, -2) și (−1,f(−1))=(−1,2)(-1, f(-1)) = (-1, 2).
greuTip Bac Subiectul III
Fie f(x)=xln⁡xf(x) = x \ln x. Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x0=ex_0 = e și aflați aria triunghiului format de tangentă cu axele de coordonate.
1
2 puncte
f(e)=eln⁡e=ef(e) = e \ln e = e. Punctul de tangență: (e,e)(e, e).
2
2 puncte
f′(x)=ln⁡x+x⋅1x=ln⁡x+1f'(x) = \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1. Deci f′(e)=ln⁡e+1=2f'(e) = \ln e + 1 = 2.
3
2 puncte
Ecuația tangentei: y−e=2(x−e)⇒y=2x−ey - e = 2(x - e) \Rightarrow y = 2x - e.
4
4 puncte
Intersecția cu OxOx: y=0⇒x=e2y=0 \Rightarrow x = \dfrac{e}{2}. Intersecția cu OyOy: x=0⇒y=−ex=0 \Rightarrow y = -e. Aria: A=12⋅e2⋅e=e24\mathcal{A} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{e}{2} \cdot e = \dfrac{e^2}{4}.

Teoremele lui Rolle și Lagrange

Teorema lui Fermat: Dacă ff atinge un extrem local în x0x_0 și ff este derivabilă în x0x_0, atunci f′(x0)=0f'(x_0) = 0. Atenție: reciproca este falsă — f′(x0)=0f'(x_0) = 0 nu implică extrem (ex: f(x)=x3f(x)=x^3, f′(0)=0f'(0)=0 dar x=0x=0 nu este extrem).
Teorema lui Rolle: Dacă ff este continuă pe [a,b][a,b], derivabilă pe (a,b)(a,b) și f(a)=f(b)f(a) = f(b), atunci: ∃ c∈(a,b) astfel ıˆncaˆt f′(c)=0\exists\, c \in (a,b) \text{ astfel încât } f'(c) = 0 Geometric: există cel puțin un punct unde tangenta este orizontală.
Teorema lui Lagrange (Valoarea medie): Dacă ff este continuă pe [a,b][a,b] și derivabilă pe (a,b)(a,b), atunci: ∃ c∈(a,b) astfel ıˆncaˆt f′(c)=f(b)−f(a)b−a\exists\, c \in (a,b) \text{ astfel încât } f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} Geometric: există un punct unde panta tangentei egalează panta secantei. Rolle este un caz special cu f(a)=f(b)f(a)=f(b).
mediuTip Bac demonstrație — aplicație Darboux/Bolzano
Aplicație Darboux (Bolzano): Demonstrați că ecuația x3−3x+1=0x^3 - 3x + 1 = 0 are cel puțin o rădăcină în intervalul (0,1)(0, 1). (Notă: aceasta este o aplicație a teoremei Darboux/Bolzano privind valorile intermediare, nu a teoremei Rolle sau Lagrange.)
1
2 puncte
Fie f(x)=x3−3x+1f(x) = x^3 - 3x + 1. ff este continuă pe [0,1][0,1] (polinomială).
2
2 puncte
f(0)=0−0+1=1>0f(0) = 0 - 0 + 1 = 1 > 0 și f(1)=1−3+1=−1<0f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 < 0.
3
1 punct
Prin teorema lui Darboux (teorema valorii intermediare / Bolzano): deoarece f(0)⋅f(1)<0f(0) \cdot f(1) < 0, există c∈(0,1)c \in (0,1) cu f(c)=0f(c) = 0.
mediuTip Bac demonstrație — aplicație Rolle
Aplicație Rolle: Fie f(x)=x2−xf(x) = x^2 - x pe [0,1][0, 1]. Verificați condițiile teoremei lui Rolle și găsiți c∈(0,1)c \in (0,1) cu f′(c)=0f'(c) = 0.
1
2 puncte
ff este continuă pe [0,1][0,1] și derivabilă pe (0,1)(0,1) (polinomială). f(0)=0f(0) = 0, f(1)=1−1=0f(1) = 1 - 1 = 0, deci f(0)=f(1)f(0) = f(1). Condițiile teoremei Rolle sunt îndeplinite.
2
2 puncte
f′(x)=2x−1f'(x) = 2x - 1. Din f′(c)=0f'(c) = 0: 2c−1=0⇒c=122c - 1 = 0 \Rightarrow c = \dfrac{1}{2}.
3
1 punct
c=12∈(0,1)c = \dfrac{1}{2} \in (0,1) ✓. În c=1/2c = 1/2, tangenta la grafic este orizontală.
greuTip Bac demonstrație — aplicație Lagrange
Aplicație Lagrange: Demonstrați că ln⁡(1+x)<x\ln(1+x) < x pentru orice x>0x > 0.
1
2 puncte
Fie f(t)=ln⁡(1+t)f(t) = \ln(1+t) pe intervalul [0,x][0, x], cu x>0x > 0. ff este continuă pe [0,x][0,x] și derivabilă pe (0,x)(0,x).
2
3 puncte
Aplicăm teorema lui Lagrange: ∃ c∈(0,x)\exists\, c \in (0,x) cu f′(c)=f(x)−f(0)x−0f'(c) = \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}, adică 11+c=ln⁡(1+x)x\dfrac{1}{1+c} = \dfrac{\ln(1+x)}{x}.
3
5 puncte
Deoarece c>0c > 0, avem 1+c>11+c > 1, deci 11+c<1\dfrac{1}{1+c} < 1. Rezultă ln⁡(1+x)x<1\dfrac{\ln(1+x)}{x} < 1, adică ln⁡(1+x)<x\ln(1+x) < x.

Regula lui L'Hôpital

Forma 00\frac{0}{0} sau ∞∞\frac{\infty}{\infty}: Dacă lim⁡x→af(x)=0\lim_{x \to a} f(x) = 0 și lim⁡x→ag(x)=0\lim_{x \to a} g(x) = 0 (sau ambele ±∞\pm\infty), atunci: lim⁡x→af(x)g(x)=lim⁡x→af′(x)g′(x)\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} dacă această din urmă limită există. Regula se aplică și pentru x→±∞x \to \pm\infty. Atenție: Se derivează numărătorul și numitorul separat (nu regula câtului!). Se aplică de câte ori este nevoie, dacă forma rămâne nedeterminată. Alte forme nedeterminate (0⋅∞0 \cdot \infty, ∞−∞\infty - \infty, 000^0, 1∞1^\infty, ∞0\infty^0) se transformă în 00\frac{0}{0} sau ∞∞\frac{\infty}{\infty} înainte de a aplica regula.
mediuTip Bac Subiectul III
Calculați lim⁡x→0ex−1−xx2\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1 - x}{x^2} folosind regula L'Hôpital.
1
2 puncte
Forma: 00\frac{0}{0} (la x=0x=0: e0−1−0=0e^0-1-0=0 și 02=00^2=0). Aplicăm L'Hôpital.
2
2 puncte
lim⁡x→0ex−12x\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{2x}. Din nou forma 00\frac{0}{0}. Aplicăm L'Hôpital din nou.
3
1 punct
lim⁡x→0ex2=12\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x}{2} = \dfrac{1}{2}.
usorExercițiu frecvent
Calculați lim⁡x→0sin⁡xx\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} folosind L'Hôpital.
1
3 puncte
Forma 00\frac{0}{0}. Aplicăm L'Hôpital: lim⁡x→0(sin⁡x)′(x)′=lim⁡x→0cos⁡x1\lim_{x \to 0} \dfrac{(\sin x)'}{(x)'} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{1}.
2
2 puncte
=cos⁡0=1= \cos 0 = 1.

Limite notabile pentru Bacalaureat

Aceste limite apar frecvent la Bac și se memorează: lim⁡x→0sin⁡xx=1lim⁡x→0tg⁡ xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg}\, x}{x} = 1 lim⁡x→0ex−1x=1lim⁡x→0ln⁡(1+x)x=1\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 lim⁡x→0(1+x)α−1x=αlim⁡x→±∞(1+1x)x=e\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^\alpha - 1}{x} = \alpha \qquad \lim_{x \to \pm\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e Legătura cu derivatele: lim⁡x→0f(x)−f(0)x=f′(0)\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - f(0)}{x} = f'(0), deci lim⁡x→0sin⁡xx=(sin⁡x)′∣x=0=cos⁡0=1\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} = (\sin x)'|_{x=0} = \cos 0 = 1.
mediuTip Bac
Calculați lim⁡x→0e3x−1sin⁡2x\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{3x} - 1}{\sin 2x}.
1
3 puncte
Forma 00\frac{0}{0}. Scriem: e3x−1sin⁡2x=e3x−13x⋅2xsin⁡2x⋅3x2x\dfrac{e^{3x}-1}{\sin 2x} = \dfrac{e^{3x}-1}{3x} \cdot \dfrac{2x}{\sin 2x} \cdot \dfrac{3x}{2x}.
2
2 puncte
Când x→0x \to 0: e3x−13x→1\dfrac{e^{3x}-1}{3x} \to 1 și sin⁡2x2x→1\dfrac{\sin 2x}{2x} \to 1, deci limita =1⋅1⋅32=32= 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2}.
usorTip Bac
Calculați lim⁡x→0ln⁡(1+5x)x\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+5x)}{x}.
1
3 puncte
Scriem: ln⁡(1+5x)x=ln⁡(1+5x)5x⋅5\dfrac{\ln(1+5x)}{x} = \dfrac{\ln(1+5x)}{5x} \cdot 5.
2
2 puncte
Când x→0x \to 0, avem 5x→05x \to 0, deci ln⁡(1+5x)5x→1\dfrac{\ln(1+5x)}{5x} \to 1. Limita =1⋅5=5= 1 \cdot 5 = 5.

Greșeli frecvente

✗
Aplic L'Hôpital fără a verifica că e forma 00\frac{0}{0} sau ∞∞\frac{\infty}{\infty}
✓Verific întotdeauna că limita este o formă nedeterminată înainte de a aplica L'Hôpital.
Dacă lim⁡fg=23\lim \frac{f}{g} = \frac{2}{3}, nu aplici L'Hôpital — limita este deja determinată.
✗
La L'Hôpital: aplică regula câtului f′g−fg′g2\dfrac{f'g - fg'}{g^2}
✓La L'Hôpital: derivezi numărătorul și numitorul SEPARAT, obții f′g′\dfrac{f'}{g'}.
L'Hôpital înseamnă: derivă numărătorul separat, derivă numitorul separat, calculează noul raport.
✗
La tangentă: confund panta tangentei cu valoarea funcției
✓Panta tangentei =f′(x0)= f'(x_0). Ordonata punctului =f(x0)= f(x_0). Ambele sunt necesare.
Ecuația tangentei are nevoie de punct (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) ȘI pantă f′(x0)f'(x_0).
✗
La Rolle confund condiția f(a)=f(b)f(a) = f(b) cu f′(a)=0f'(a) = 0
✓Rolle asigură existența unui c∈(a,b)c \in (a,b) cu f′(c)=0f'(c) = 0, nu la capete.
Valoarea zero a derivatei se garantează în interiorul intervalului, nu la capete.

Aplicațiile derivatelor la examenul de Bac

Tangenta la Bac — pași siguri: (1) Calculează f(x0)f(x_0) — ordonata punctului. (2) Calculează f′(x0)f'(x_0) — panta. (3) Scrie y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0). Nu inversa ordinea.
L'Hôpital la Bac: Formele 00\frac{0}{0} apar cel mai des. Recunoaște forma nedeterminată, aplică o dată sau de două ori, simplifică. Dacă după două aplicări nu se rezolvă, încearcă o limită notabilă sau factorizare.
Teorema Rolle/Lagrange la demonstrații: Când trebuie să arăți că există un punct cu o proprietate, gândește-te la Rolle sau Lagrange. Formulează clar că ff este continuă pe [a,b][a,b] și derivabilă pe (a,b)(a,b) — aceste condiții valorează puncte.

Formularul aplicațiilor derivatelor

Ecuația tangentei
y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)
Panta =f′(x0)= f'(x_0), punctul de tangență =(x0,f(x0))= (x_0, f(x_0)).
Ecuația normalei
y=−1f′(x0)(x−x0)+f(x0)y = -\dfrac{1}{f'(x_0)}(x - x_0) + f(x_0)
Normala este perpendiculară pe tangentă.
Teorema Rolle
f(a)=f(b)⇒∃c∈(a,b):f′(c)=0f(a)=f(b) \Rightarrow \exists c \in (a,b): f'(c)=0
Condiții: ff continuă pe [a,b][a,b], derivabilă pe (a,b)(a,b).
Teorema Lagrange
∃c∈(a,b):f′(c)=f(b)−f(a)b−a\exists c \in (a,b): f'(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}
Panta tangentei egalează panta secantei.
L'Hôpital
lim⁡fg=00lim⁡f′g′\lim \dfrac{f}{g} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim \dfrac{f'}{g'}
Valabil pentru formele 00\frac{0}{0} și ∞∞\frac{\infty}{\infty}.
lim⁡sin⁡xx\lim \frac{\sin x}{x}
lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1
Limită notabilă fundamentală.
lim⁡ex−1x\lim \frac{e^x-1}{x}
lim⁡x→0ex−1x=1\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1
Limită notabilă pentru exponențială.
lim⁡ln⁡(1+x)x\lim \frac{\ln(1+x)}{x}
lim⁡x→0ln⁡(1+x)x=1\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1
Limită notabilă pentru logaritm.

Capitole inrudite

DerivateMonotonie și convexitateContinuitateStudiul funcțiilor

Exerciteaza 242 probleme de Aplicații ale derivatelor

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 294 grile de Aplicații ale derivatelor

Intrebari cu variante de raspuns

→
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.