Grile de Aplicații ale trigonometriei în geometrie — Clasa a 9-a

294 întrebări cu variante de răspuns • Geometrie

Teorie Aplicații ale trigonometriei în geometrie — Formule si exemple rezolvate

Probleme de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

117 exerciții cu rezolvare pas cu pas

→
Ușor#1
Într-un triunghi dreptunghic, unghiul AA are măsura 30∘30^\circ, iar ipotenuza BCBC are lungimea 1010. Care este lungimea catetei opuse unghiului AA?
A) 55
B) 535\sqrt{3}
C) 1010
D) 10310\sqrt{3}
E) 2020
F) 1515

Explicație

Sinusul unghiului 30∘30^\circ este 12\frac{1}{2}. Cateta opusă se calculează: BC⋅sin⁡(30∘)=10⋅12=5BC \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5.
Mediu#2
Într-un triunghi ABCABC, se cunosc AB=6AB = 6, AC=8AC = 8 și unghiul A=60∘A = 60^\circ. Care este lungimea laturii BCBC?
A) 1010
B) 2132\sqrt{13}
C) 77
D) 434\sqrt{3}
E) 1414
F) 55

Explicație

Se aplică teorema cosinusurilor: BC2=62+82−2⋅6⋅8⋅cos⁡(60∘)=36+64−48=52BC^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) = 36 + 64 - 48 = 52, deci BC=52=213BC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}.
Ușor#3
Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului de 30∘30^\circ are lungimea de 6 cm. Care este lungimea ipotenuzei?
A) 3 cm
B) 6 cm
C) 12 cm
D) 636\sqrt{3} cm
E) 333\sqrt{3} cm
F) 9 cm

Explicație

Într-un triunghi dreptunghic, sinusul unghiului este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză. Pentru 30∘30^\circ, sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}. Deci, ipotenuza =6sin⁡30∘=61/2=12= \frac{6}{\sin 30^\circ} = \frac{6}{1/2} = 12 cm.
Mediu#4
În triunghiul ABC, se cunosc AB=5AB = 5 cm, BC=7BC = 7 cm și măsura unghiului B este 60∘60^\circ. Care este lungimea laturii AC?
A) 24\sqrt{24} cm
B) 39\sqrt{39} cm
C) 74\sqrt{74} cm
D) 109\sqrt{109} cm
E) 8 cm
F) 6 cm

Explicație

Se aplică teorema cosinusului: AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cos⁡∠BAC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B. Cu AB=5AB=5, BC=7BC=7, cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2}, avem AC2=25+49−2⋅5⋅7⋅12=74−35=39AC^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39, deci AC=39AC = \sqrt{39} cm.
Ușor#5
Într-un triunghi dreptunghic, unghiul A are măsura de 30∘30^\circ, iar ipotenuza este de 10 cm. Care este lungimea catetei opuse unghiului A?
A) 5 cm
B) 8.66 cm
C) 10 cm
D) 20 cm
E) 2.5 cm
F) 7.5 cm

Explicație

Folosind sin⁡(30∘)=cateta opusa˘ipotenuza˘\sin(30^\circ) = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}}, avem cateta opusă =10⋅sin⁡(30∘)=10⋅12=5= 10 \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 cm.
Mediu#6
Într-un triunghi oarecare ABC, se cunosc laturile a=8a=8 cm, b=6b=6 cm și unghiul C=60∘C=60^\circ. Care este lungimea laturii cc?
A) 2132\sqrt{13} cm
B) 10 cm
C) 7 cm
D) 8 cm
E) 6 cm
F) 14 cm

Explicație

Aplicând teorema cosinusului: c2=a2+b2−2abcos⁡C=64+36−2⋅8⋅6⋅12=100−48=52c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = 64 + 36 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 100 - 48 = 52, deci c=52=213c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} cm.
Ușor#7
Într-un triunghi dreptunghic, unghiul ascuțit A are măsura de 30∘30^\circ, iar cateta opusă acestui unghi este 44. Aflați lungimea ipotenuzei.
A) 88
B) 434\sqrt{3}
C) 44
D) 22
E) 66
F) 1010

Explicație

În triunghiul dreptunghic, sinusul unghiului este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză: sin⁡(30∘)=4c\sin(30^\circ) = \frac{4}{c}. Deoarece sin⁡(30∘)=12\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}, rezultă c=4÷12=8c = 4 \div \frac{1}{2} = 8.
Mediu#8
Aria unui triunghi cu două laturi de lungimi 66 și 88 și unghiul dintre ele de 60∘60^\circ este:
A) 12312\sqrt{3}
B) 2424
C) 24324\sqrt{3}
D) 1212
E) 4848
F) 48348\sqrt{3}

Explicație

Aria triunghiului se calculează cu formula A=12absin⁡θA = \frac{1}{2} ab \sin\theta, unde a=6a=6, b=8b=8, θ=60∘\theta=60^\circ. Astfel, A=12⋅6⋅8⋅sin⁡(60∘)=24⋅32=123A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(60^\circ) = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}.
Mediu#9
În triunghiul ABC, se cunosc AB=5AB = 5, AC=7AC = 7 și ∠A=60∘\angle A = 60^\circ. Aflați lungimea laturii BCBC.
A) 39\sqrt{39}
B) 74\sqrt{74}
C) 1212
D) 89\sqrt{89}
E) 25\sqrt{25}
F) 49\sqrt{49}

Explicație

Se aplică teorema cosinusului: BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡A=52+72−2⋅5⋅7⋅cos⁡60∘=25+49−35=39BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60^\circ = 25 + 49 - 35 = 39, deci BC=39BC = \sqrt{39}.
Mediu#10
Aria unui triunghi cu laturile de lungime 66 și 88 și unghiul dintre ele de 30∘30^\circ este:
A) 1212
B) 2424
C) 4848
D) 9696
E) 636\sqrt{3}
F) 838\sqrt{3}

Explicație

Aria triunghiului se calculează cu formula 12absin⁡C=12⋅6⋅8⋅sin⁡30∘=12⋅48⋅0.5=12\frac{1}{2} ab \sin C = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 0.5 = 12.
Mediu#11
Într-un triunghi ABC, se cunosc AB = 5 cm, AC = 7 cm și unghiul A = 60°. Calculați lungimea laturii BC.
A) 39\sqrt{39} cm
B) 49\sqrt{49} cm
C) 29\sqrt{29} cm
D) 19\sqrt{19} cm
E) 59\sqrt{59} cm
F) 69\sqrt{69} cm

Explicație

Se aplică teorema cosinusului: BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡ABC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A. Calculând: 52+72−2⋅5⋅7⋅cos⁡60°=25+49−70⋅0.5=74−35=395^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60° = 25 + 49 - 70 \cdot 0.5 = 74 - 35 = 39, deci BC=39BC = \sqrt{39} cm.
Ușor#12
În triunghiul dreptunghic ABC, cu unghiul drept în A, se cunosc cateta AB = 3 cm și unghiul B = 30°. Calculați lungimea ipotenuzei BC.
A) 66 cm
B) 333\sqrt{3} cm
C) 232\sqrt{3} cm
D) 44 cm
E) 55 cm
F) 3\sqrt{3} cm

Explicație

În triunghiul dreptunghic, sin⁡B=cateta opusa˘ipotenuza\sin B = \frac{cateta\ opusă}{ipotenuza}. Aici, sin⁡30°=ABBC=3BC=0.5\sin 30° = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{BC} = 0.5, deci BC=30.5=6BC = \frac{3}{0.5} = 6 cm.

Și alte 282 grile disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Accesează toate cele 294 probleme de Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.