Clasa 9Geometrie

Aplicații ale trigonometriei în geometrie — Teorie, Formule si Exemple

Aplicațiile trigonometriei în geometrie reprezintă unul dintre cele mai importante capitole de Matematică din clasa a 9-a. Legea sinusurilor, legea cosinusurilor și formulele trigonometrice de arie sunt instrumente esențiale care leagă unghiurile și laturile oricărui triunghi, nu doar dreptunghic. La examenul de Bacalaureat (BAC), Matematica M1, aceste formule apar frecvent la Subiectul I (5 puncte) în probleme de calcul al laturilor, unghiurilor și ariilor triunghiurilor, precum și în demonstrări de identități geometrice.

Funcțiile trigonometrice în triunghiul dreptunghic — relații metrice

Într-un triunghi dreptunghic cu ipotenuza

c

și catete

a, b

, unghi drept la

C

\sin A = \frac{a}{c}, \quad \cos A = \frac{b}{c}, \quad \operatorname{tg} A = \frac{a}{b}, \quad \operatorname{ctg} A = \frac{b}{a}

Teorema lui Pitagora:

a^2 + b^2 = c^2

Relații metrice (cu înălțimea

h

din

C

pe ipotenuza

c

, iar

a', b'

proiecțiile catetelor):

h^2 = a' \cdot b'; \quad a^2 = a' \cdot c; \quad b^2 = b' \cdot c

usorExercițiu de bază

Într-un triunghi dreptunghic, cateta

a = 3

și ipotenuza

c = 5

. Calculați

\sin A

și cateta

b

2 puncte

\sin A = \dfrac{a}{c} = \dfrac{3}{5}

3 puncte

Din Pitagora:

b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4

mediuTip Bac, Subiectul I

Într-un triunghi dreptunghic cu unghiul drept la

C

, înălțimea din

C

pe ipotenuză are lungimea

h = 6

, iar proiecția catetei

a

pe ipotenuză este

a' = 4

. Calculați catetele

a

b

și ipotenuza

c

2 puncte

Din relația metrică

h^2 = a' \cdot b'

obținem

b' = \dfrac{h^2}{a'} = \dfrac{36}{4} = 9

1 punct

Ipotenuza:

c = a' + b' = 4 + 9 = 13

2 puncte

Catetele:

a = \sqrt{a' \cdot c} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}

și

b = \sqrt{b' \cdot c} = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13}

Legea sinusurilor — formula și raza cercului circumscris

Legea sinusurilor este valabilă în orice triunghi

ABC

cu laturile

a, b, c

opuse unghiurilor

A, B, C

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

unde

R

este raza cercului circumscris triunghiului. Când folosești legea sinusurilor:

Cunoști două unghiuri și o latură: afli celelalte laturi
Cunoști două laturi și unghiul opus uneia din ele: afli unghiurile

Consecință:

a > b \Leftrightarrow A > B

(latura mai mare este opusă unghiului mai mare).

mediuTip Bac, Subiectul I

Într-un triunghi

ABC

A = 30°

B = 45°

a = 4

. Calculați

b

și raza

R

3 puncte

Din legea sinusurilor:

\dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{a}{\sin A}

, deci

b = \dfrac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \dfrac{4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{2}

2 puncte

2R = \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{4}{1/2} = 8

, deci

R = 4

usorExercițiu de bază

Într-un triunghi echilateral

ABC

cu latura

a = 6

, calculați raza cercului circumscris

R

folosind legea sinusurilor.

2 puncte

Într-un triunghi echilateral, toate unghiurile sunt de

60°

, deci

\sin A = \sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

3 puncte

2R = \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{12}{\sqrt{3}} = \dfrac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}

, deci

R = 2\sqrt{3}

Legea cosinusurilor — generalizarea teoremei lui Pitagora

Legea cosinusurilor generalizează teorema lui Pitagora pentru orice triunghi:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Analog:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A

și

b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B

. Verificare: Dacă

C = 90°

, atunci

\cos C = 0

și obținem

c^2 = a^2 + b^2

(Pitagora). Când folosești legea cosinusurilor:

Cunoști două laturi și unghiul cuprins între ele: afli a treia latură
Cunoști toate trei laturi: afli unghiurile (din forma inversată):

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

usorTip Bac, Subiectul I

Într-un triunghi

ABC

a = 5

b = 7

C = 60°

. Calculați

c

3 puncte

Legea cosinusurilor:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \dfrac{1}{2} = 74 - 35 = 39

2 puncte

Deci

c = \sqrt{39}

mediuTip Bac, Subiectul I

Într-un triunghi

ABC

a = 7

b = 8

c = 5

, calculați măsura unghiului

C

3 puncte

Din forma inversată a legii cosinusurilor:

\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \dfrac{49 + 64 - 25}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \dfrac{88}{112} = \dfrac{11}{14}

2 puncte

Deoarece

\cos C = \dfrac{11}{14} > 0

, unghiul

C

este ascuțit. Deci

C = \arccos\dfrac{11}{14}

Aria triunghiului — formula cu sinus, formula lui Heron, razele R și r

Formula ariei cu sinus (două laturi și unghiul cuprins):

\mathcal{A} = \frac{1}{2} ab \sin C

Formula lui Heron (din cele trei laturi, fără unghiuri):

\mathcal{A} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, \quad s = \frac{a+b+c}{2}

Caz special — triunghiul echilateral cu latura

a

\mathcal{A} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}, \quad h = \frac{a\sqrt{3}}{2}, \quad R = \frac{a\sqrt{3}}{3}, \quad r = \frac{a\sqrt{3}}{6}

Raza cercului circumscris și înscris:

R = \frac{abc}{4\mathcal{A}}, \qquad r = \frac{\mathcal{A}}{s}

mediuTip Bac, Subiectul I

Calculați aria triunghiului cu

a = 5

b = 7

și

C = 60°

5 puncte

Formula ariei cu sinus:

\mathcal{A} = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin 60° = \dfrac{35}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{35\sqrt{3}}{4}

mediuExercițiu de bază

Calculați aria triunghiului cu laturile

a = 13

b = 14

c = 15

folosind formula lui Heron.

1 punct

Semiperimetrul:

s = \dfrac{13 + 14 + 15}{2} = 21

4 puncte

Aplicăm formula lui Heron:

\mathcal{A} = \sqrt{21 \cdot (21-13) \cdot (21-14) \cdot (21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84

greuDemonstrație tip Bac

Demonstrați că într-un triunghi

ABC

a(\sin B - \sin C) + b(\sin C - \sin A) + c(\sin A - \sin B) = 0

2 puncte

Prin legea sinusurilor:

\sin A = \dfrac{a}{2R}

\sin B = \dfrac{b}{2R}

\sin C = \dfrac{c}{2R}

3 puncte

Substituind:

a \cdot \dfrac{b-c}{2R} + b \cdot \dfrac{c-a}{2R} + c \cdot \dfrac{a-b}{2R} = \dfrac{ab - ac + bc - ab + ca - cb}{2R} = \dfrac{0}{2R} = 0

\square

Greșeli frecvente la aplicațiile trigonometriei în geometrie

✗

Legea cosinusurilor:

c^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos C

(semn plus)

✓

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

(semn minus)

Semnul minus este esențial. La

C = 90°

\cos 90° = 0

, deci obținem Pitagora — verificare rapidă a formulei.

✗

Aria cu sinus:

\mathcal{A} = ab\sin C

(fără

\frac{1}{2}

)

✓

\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}ab\sin C

Factorul

\frac{1}{2}

este obligatoriu (vine din formula bazei × înălțimea ÷ 2).

✗

Legea sinusurilor:

\dfrac{\sin A}{a} = 2R

(inversez raportul)

✓

\dfrac{a}{\sin A} = 2R

, deci

\dfrac{\sin A}{a} = \dfrac{1}{2R}

Latura este la numărător, sinusul la numitor în forma standard.

✗

Folosesc legea sinusurilor când am două laturi și unghiul cuprins

✓Dacă cunoști două laturi și unghiul cuprins, folosești legea cosinusurilor

Legea sinusurilor necesară dacă unghiul este opus uneia din laturi, nu cuprins.

Sfaturi pentru Bacalaureat — trigonometrie în geometrie

Apar la Subiectul I (5 puncte). Strategia de alegere a formulei: (1) două laturi + unghi cuprins → legea cosinusurilor + aria cu sinus; (2) două unghiuri + o latură → legea sinusurilor; (3) trei laturi → legea cosinusurilor pentru unghiuri, Heron pentru arie.

Verificarea rezultatelor: Suma unghiurilor trebuie să fie

180°

. Aria calculată prin două metode diferite trebuie să dea același rezultat.

Timp: O problemă completă de triunghi la Subiectul I durează 6–8 minute. Planifică timpul corespunzător și nu irosi timp calculând dacă forma intermediară este suficientă (de ex.,

c = \sqrt{39}

nu trebuie aproximat numeric).

Formularul de trigonometrie în geometrie — sinteză rapidă

Legea sinusurilor

\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R

Raport constant egal cu diametrul cercului circumscris.

Legea cosinusurilor

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Generalizare a lui Pitagora. Semnul este minus.

Unghiul din laturi

\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Forma inversată a legii cosinusurilor.

Aria cu sinus

\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}ab\sin C

Două laturi și unghiul cuprins.

Formula lui Heron

\mathcal{A} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

s = \dfrac{a+b+c}{2}

Aria din cele trei laturi, fără unghiuri.

Raza circumscrisă

R = \dfrac{abc}{4\mathcal{A}}

Sau din legea sinusurilor:

R = \dfrac{a}{2\sin A}

Raza înscrisă

r = \dfrac{\mathcal{A}}{s}

Raportul ariei la semiperimetru.

Capitole inrudite

Trigonometrie Vectori Geometrie Analitică Arii și Volume

Exerciteaza 117 probleme de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 294 grile de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Intrebari cu variante de raspuns

→

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.