Grile de Continuitate — Clasa a 11-a

290 întrebări cu variante de răspuns • Analiza Matematica

Teorie Continuitate — Formule si exemple rezolvate

Probleme de Continuitate

109 exerciții cu rezolvare pas cu pas

→
Mediu#1
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)={x2+1,daca˘ x≤2ax+3,daca˘ x>2f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & \text{dacă } x \leq 2 \\ ax + 3, & \text{dacă } x > 2 \end{cases}. Pentru ce valoare a parametrului aa funcția ff este continuă în x=2x=2?
A) a=2a = 2
B) a=3a = 3
C) a=4a = 4
D) a=5a = 5
E) a=1a = 1
F) a=0a = 0

Explicație

Pentru continuitate în x=2x=2, trebuie ca lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2+f(x)=f(2)\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2). Se calculează f(2)=5f(2)=5, lim⁡x→2−f(x)=5\lim_{x \to 2^-} f(x)=5 și lim⁡x→2+f(x)=2a+3\lim_{x \to 2^+} f(x)=2a+3. Din 2a+3=52a+3=5, rezultă a=1a=1.
Ușor#2
În ce punct funcția f(x)=x2−4x+2f(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2} nu este continuă?
A) x=0x=0
B) x=2x=2
C) x=−2x=-2
D) x=4x=4
E) Funcția este continuă peste tot
F) x=−4x=-4

Explicație

Funcția se simplifică la f(x)=x−2f(x)=x-2 pentru x≠−2x \neq -2. În x=−2x=-2, numitorul este zero, deci funcția nu este definită și are o discontinuitate în acest punct.
Mediu#3
Fie funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = (x² - 4)/(x - 2) pentru x ≠ 2 și f(2) = a. Pentru ce valoare a lui a funcția f este continuă pe ℝ?
A) a = 0
B) a = 2
C) a = 4
D) a = -4
E) a = 1
F) Nu există o astfel de valoare

Explicație

Pentru a fi continuă în x = 2, trebuie ca f(2) = lim_{x→2} f(x). Calculăm limita: lim_{x→2} (x²-4)/(x-2) = lim_{x→2} (x+2) = 4. Deci a = 4.
Mediu#4
Fie funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = { x² + 1, pentru x < 0; 2x + 1, pentru x ≥ 0. Este funcția f continuă în punctul x = 0?
A) Da, este continuă.
B) Nu, are discontinuitate de prima speță.
C) Nu, are discontinuitate de a doua speță.
D) Nu, nu este definită în x = 0.
E) Da, dar numai continuă din dreapta.
F) Nu, deoarece limitele laterale sunt diferite.

Explicație

Verificăm continuitatea în x = 0: lim_{x→0⁻} f(x) = lim_{x→0} (x²+1) = 1, lim_{x→0⁺} f(x) = lim_{x→0} (2x+1) = 1, și f(0) = 1. Deoarece limitele laterale sunt egale și egale cu f(0), funcția este continuă.
Mediu#5
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)={x+1,daca˘ x<23,daca˘ x=2x−1,daca˘ x>2f(x) = \begin{cases} x+1, & \text{dacă } x < 2 \\ 3, & \text{dacă } x = 2 \\ x-1, & \text{dacă } x > 2 \end{cases}. În care punct este funcția discontinuă?
A) x=0x=0
B) x=1x=1
C) x=2x=2
D) x=3x=3
E) x=−1x=-1
F) Nicăieri, funcția este continuă peste tot

Explicație

Funcția este discontinuă în x=2x=2 deoarece limitele laterale sunt diferite: lim⁡x→2−f(x)=3\lim_{x \to 2^-} f(x) = 3 și lim⁡x→2+f(x)=1\lim_{x \to 2^+} f(x) = 1, iar f(2)=3f(2)=3.
Mediu#6
Fie funcția f(x)={sin⁡xx,daca˘ x≠0a,daca˘ x=0f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & \text{dacă } x \neq 0 \\ a, & \text{dacă } x = 0 \end{cases}. Pentru ce valoare a lui aa funcția este continuă în x=0x=0?
A) a=0a=0
B) a=1a=1
C) a=−1a=-1
D) a=2a=2
E) a=12a=\frac{1}{2}
F) a=πa=\pi

Explicație

Pentru continuitate în x=0x=0, trebuie ca lim⁡x→0f(x)=f(0)\lim_{x \to 0} f(x) = f(0). Știind că lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, rezultă că a=1a=1.
Mediu#7
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)={2x+a,x≤1x2+3,x>1f(x) = \begin{cases} 2x + a, & x \le 1 \\ x^2 + 3, & x > 1 \end{cases}. Pentru ce valoare a lui aa funcția este continuă în x=1x=1?
A) a=2a=2
B) a=0a=0
C) a=1a=1
D) a=3a=3
E) a=4a=4
F) a=−2a=-2

Explicație

Pentru continuitate în x=1x=1, avem lim⁡x→1−f(x)=f(1)=lim⁡x→1+f(x)\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) = \lim_{x \to 1^+} f(x). Calculând, lim⁡x→1−f(x)=2⋅1+a=2+a\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \cdot 1 + a = 2 + a, iar lim⁡x→1+f(x)=12+3=4\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1^2 + 3 = 4. Egalând, 2+a=42 + a = 4, deci a=2a=2.
Ușor#8
Unde este discontinuă funcția g(x)=x2−1x−1g(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}?
A) x=1x=1
B) x=0x=0
C) x=−1x=-1
D) x=2x=2
E) Nicăieri, funcția este continuă pe R\mathbb{R}
F) x=1x=1 și x=−1x=-1

Explicație

Funcția g(x)g(x) este definită pentru x≠1x \neq 1. În x=1x=1, funcția nu este definită, deci este discontinuă în acest punct. Simplificând, g(x)=x+1g(x) = x+1 pentru x≠1x \neq 1, dar în x=1x=1 nu există valoare.
Mediu#9
Fie funcția f(x)={x2+adaca˘ x≤24x−2daca˘ x>2f(x) = \begin{cases} x^2 + a & \text{dacă } x \leq 2 \\ 4x - 2 & \text{dacă } x > 2 \end{cases}. Pentru ce valoare a lui aa funcția este continuă în x=2x = 2?
A) a=2a = 2
B) a=−2a = -2
C) a=0a = 0
D) a=4a = 4
E) a=6a = 6
F) a=−4a = -4

Explicație

Pentru continuitate în x=2x = 2, avem lim⁡x→2−f(x)=f(2)=4+a\lim_{x \to 2^-} f(x) = f(2) = 4 + a și lim⁡x→2+f(x)=6\lim_{x \to 2^+} f(x) = 6. Egalând, 4+a=64 + a = 6, deci a=2a = 2.
Mediu#10
Funcția f(x)=x2−4x−2f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} nu este definită în x=2x = 2. Ce valoare trebuie atribuită lui f(2)f(2) pentru ca funcția să fie continuă în x=2x = 2?
A) 4
B) 2
C) 0
D) -2
E) 1
F) -4

Explicație

Calculăm limita: lim⁡x→2x2−4x−2=lim⁡x→2(x−2)(x+2)x−2=lim⁡x→2(x+2)=4\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4. Pentru continuitate, f(2)f(2) trebuie să fie egală cu această limită, deci f(2)=4f(2) = 4.
Ușor#11
Pentru funcția f(x)=x2−1x−1f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}, care este afirmația corectă despre continuitatea ei?
A) ff este continuă în x=1x=1.
B) ff este discontinuă în x=1x=1.
C) ff este continuă pe întreg domeniul de definiție.
D) ff este discontinuă în x=−1x=-1.
E) ff este continuă în x=0x=0.
F) ff nu este continuă în niciun punct.

Explicație

Funcția se simplifică la f(x)=x+1f(x) = x + 1 pentru x≠1x \neq 1. În x=1x=1, funcția nu este definită (numitorul este zero), deci nu poate fi continuă. Limita în x=1x=1 există și este 22, dar absența valorii funcției determină o discontinuitate.
Mediu#12
Fie funcția definită prin: f(x)={ax+1,x≤2x2−1,x>2f(x) = \begin{cases} ax + 1, & x \leq 2 \\ x^2 - 1, & x > 2 \end{cases}. Determinați valoarea lui aa pentru care ff este continuă în x=2x=2.
A) a=0a = 0
B) a=1a = 1
C) a=2a = 2
D) a=3a = 3
E) a=−1a = -1
F) a=4a = 4

Explicație

Pentru continuitate în x=2x=2, trebuie ca limitele laterale să fie egale cu f(2)f(2). Calculăm: lim⁡x→2−f(x)=2a+1\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2a + 1, lim⁡x→2+f(x)=22−1=3\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2^2 - 1 = 3. Egaleazăm: 2a+1=3⇒a=12a + 1 = 3 \Rightarrow a = 1.

Și alte 278 grile disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Accesează toate cele 290 probleme de Continuitate cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.