Clasa 11Analiză

Continuitate — Teorie, Formule si Exemple

Continuitatea este unul dintre conceptele centrale ale analizei matematice din programa de clasa a 11-a, profil Matematică M1. Intuitiv, o funcție continuă este una al cărei grafic se poate trasa fără a ridica creionul de pe hârtie. La examenul de Bacalaureat, continuitatea apare la Subiectul III în mai multe forme: determinarea parametrilor pentru care o funcție pe ramuri este continuă, demonstrarea existenței soluțiilor unei ecuații prin teorema lui Darboux și verificarea continuității ca pas obligatoriu înainte de a studia derivabilitatea. Stăpânirea acestui capitol este esențială: fără continuitate nu poți aborda corect derivatele, studiul funcțiilor sau integralele — toate temele majore de la BAC.

Definiția continuității unei funcții într-un punct

Funcția ff este continuă în punctul x0x_0 dacă: lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) Aceasta implică simultan trei condiții (toate trebuie verificate):
  1. f(x0)f(x_0) este definit (x0x_0 aparține domeniului)
  2. lim⁡x→x0f(x)\lim_{x \to x_0} f(x) există și este finită (limitele laterale sunt egale: lim⁡x→x0−f=lim⁡x→x0+f\lim_{x\to x_0^-} f = \lim_{x\to x_0^+} f)
  3. Limita este egală cu valoarea funcției în acel punct
Continuitate pe interval: ff este continuă pe intervalul II dacă este continuă în fiecare punct interior al lui II. La capetele închise se verifică continuitatea laterală corespunzătoare. Continuitate laterală: ff este continuă la dreapta în x0x_0 dacă lim⁡x→x0+f(x)=f(x0)\lim_{x\to x_0^+} f(x) = f(x_0) și continuă la stânga dacă lim⁡x→x0−f(x)=f(x0)\lim_{x\to x_0^-} f(x) = f(x_0). Funcția este continuă în x0x_0 dacă și numai dacă este continuă atât la stânga, cât și la dreapta. Definiția cu ε\varepsilon-δ\delta (pentru rigoare): ff este continuă în x0x_0 dacă ∀ε>0,∃δ>0\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 astfel încât ∣x−x0∣<δ⇒∣f(x)−f(x0)∣<ε|x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon.
mediuTip Bac
Determinați a∈Ra \in \mathbb{R} astfel încât f(x)={x2−1x≤1ax+1x>1f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & x \leq 1 \\ ax + 1 & x > 1 \end{cases} să fie continuă pe R\mathbb{R}.
1
2 puncte
Pe (−∞,1)(-\infty, 1) și (1,+∞)(1, +\infty) funcția este polinomială, deci continuă. Verificăm în x0=1x_0 = 1.
2
3 puncte
lim⁡x→1−f(x)=12−1=0\lim_{x\to 1^-} f(x) = 1^2 - 1 = 0. lim⁡x→1+f(x)=a⋅1+1=a+1\lim_{x\to 1^+} f(x) = a \cdot 1 + 1 = a+1. f(1)=1−1=0f(1) = 1-1 = 0.
3
2 puncte
Condiție de continuitate: 0=a+1⇒a=−10 = a+1 \Rightarrow a = -1.
usorExercițiu de bază
Verificați dacă funcția f(x)={x2−4x−2x≠23x=2f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} & x \neq 2 \\ 3 & x = 2 \end{cases} este continuă în x0=2x_0 = 2.
1
3 puncte
Calculăm limita: lim⁡x→2x2−4x−2=lim⁡x→2(x−2)(x+2)x−2=lim⁡x→2(x+2)=4\lim_{x\to 2} \dfrac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2} \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4.
2
2 puncte
Comparăm cu valoarea funcției: f(2)=3≠4=lim⁡x→2f(x)f(2) = 3 \neq 4 = \lim_{x\to 2} f(x).
3
2 puncte
Limita există dar nu este egală cu f(2)f(2), deci ff nu este continuă în x0=2x_0 = 2. Este o discontinuitate eliminabilă.

Clasificarea discontinuităților - eliminabile, de salt și esențiale

Când funcția nu este continuă într-un punct, spunem că are o discontinuitate. Tipul discontinuității depinde de comportamentul limitelor laterale: Discontinuitate eliminabilă (de specia I): lim⁡x→x0f(x)=L\lim_{x \to x_0} f(x) = L finit, dar fie f(x0)f(x_0) nu este definit, fie f(x0)≠Lf(x_0) \neq L. Se poate "repara" redefinind f(x0)=Lf(x_0) = L. Exemplu: f(x)=x2−1x−1f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} în x=1x = 1. Discontinuitate de salt (de specia I): lim⁡x→x0−f(x)≠lim⁡x→x0+f(x)\lim_{x \to x_0^-} f(x) \neq \lim_{x \to x_0^+} f(x), ambele limite fiind finite. Graficul prezintă un "salt" vizibil. Exemplu: funcția parte întreagă [x][x] în orice x∈Zx \in \mathbb{Z}. Discontinuitate esențială (de specia a II-a): Cel puțin una dintre limitele laterale este ±∞\pm\infty sau nu există. Exemplu: f(x)=sin⁡1xf(x) = \sin\dfrac{1}{x} în x=0x=0 (limita nu există) sau f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x} în x=0x = 0 (limite laterale infinite).
usorExercițiu de bază
Clasificați discontinuitatea funcției f(x)={xx<0x+2x≥0f(x) = \begin{cases} x & x < 0 \\ x+2 & x \geq 0 \end{cases} în x0=0x_0 = 0.
1
3 puncte
lim⁡x→0−f(x)=0\lim_{x\to 0^-} f(x) = 0 și lim⁡x→0+f(x)=2\lim_{x\to 0^+} f(x) = 2. Limitele laterale sunt diferite.
2
2 puncte
Ambele limite sunt finite dar inegale — aceasta este o discontinuitate de salt în x=0x=0.
mediuExercițiu clasic
Studiați continuitatea funcției f(x)={sin⁡xxx≠01x=0f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x} & x \neq 0 \\ 1 & x = 0 \end{cases} în x0=0x_0 = 0.
1
3 puncte
Calculăm limita: lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 (limită fundamentală).
2
2 puncte
Verificăm: f(0)=1f(0) = 1 și lim⁡x→0f(x)=1\lim_{x\to 0} f(x) = 1. Limita coincide cu valoarea funcției.
3
2 puncte
Deci ff este continuă în x0=0x_0 = 0. Fără definiția f(0)=1f(0) = 1, funcția sin⁡xx\dfrac{\sin x}{x} ar avea o discontinuitate eliminabilă în 00.

Proprietăți ale funcțiilor continue, teorema Darboux și teorema Weierstrass

Operații ce păstrează continuitatea: Suma, diferența, produsul, câtul (cu numitorul nenul) și compunerea de funcții continue sunt continue. Funcții continue pe tot R\mathbb{R}: polinoame, exe^x, sin⁡x\sin x, cos⁡x\cos x, ∣x∣|x|. Funcții continue pe domeniu: ln⁡x\ln x pe (0,+∞)(0,+\infty), x\sqrt{x} pe [0,+∞)[0,+\infty), funcții raționale unde numitorul ≠0\neq 0.
Teorema lui Darboux (Valoarea Intermediară): Dacă ff este continuă pe [a,b][a,b], atunci pentru orice y0y_0 cuprins între f(a)f(a) și f(b)f(b) există c∈(a,b)c \in (a,b) cu f(c)=y0f(c) = y_0. Consecință directă: Dacă f(a)⋅f(b)<0f(a) \cdot f(b) < 0 (valori de semne opuse), atunci ecuația f(x)=0f(x) = 0 are cel puțin o soluție în (a,b)(a,b).
Teorema lui Weierstrass: Dacă ff este continuă pe [a,b][a,b] (interval închis și mărginit), atunci ff atinge maximul și minimul pe [a,b][a,b].
mediuTip Bac demonstrație
Arătați că ecuația x5−x−1=0x^5 - x - 1 = 0 are cel puțin o soluție reală.
1
2 puncte
Fie f(x)=x5−x−1f(x) = x^5 - x - 1. ff este continuă pe R\mathbb{R} (polinomială).
2
2 puncte
f(0)=−1<0f(0) = -1 < 0 și f(2)=32−2−1=29>0f(2) = 32 - 2 - 1 = 29 > 0.
3
2 puncte
Prin teorema lui Darboux: f(0)⋅f(2)<0f(0) \cdot f(2) < 0, deci există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f(c)=0f(c) = 0.
greuTip Bac - Darboux cu funcție auxiliară
Fie f:[0,1]→Rf: [0,1] \to \mathbb{R} continuă cu f(0)=f(1)f(0) = f(1). Arătați că există c∈[0,12]c \in \left[0, \dfrac{1}{2}\right] cu f(c)=f(c+12)f(c) = f\left(c + \dfrac{1}{2}\right).
1
3 puncte
Definim funcția auxiliară g(x)=f(x)−f(x+12)g(x) = f(x) - f\left(x + \dfrac{1}{2}\right) pe [0,12]\left[0, \dfrac{1}{2}\right]. gg este continuă ca diferență de funcții continue.
2
2 puncte
g(0)=f(0)−f(12)g(0) = f(0) - f\left(\dfrac{1}{2}\right) și g(12)=f(12)−f(1)=f(12)−f(0)g\left(\dfrac{1}{2}\right) = f\left(\dfrac{1}{2}\right) - f(1) = f\left(\dfrac{1}{2}\right) - f(0).
3
3 puncte
Observăm: g(0)+g(12)=0g(0) + g\left(\dfrac{1}{2}\right) = 0, deci g(0)g(0) și g(12)g\left(\dfrac{1}{2}\right) au semne opuse (sau unul este 00). Prin Darboux, ∃c\exists c cu g(c)=0g(c) = 0, adică f(c)=f(c+12)f(c) = f\left(c + \dfrac{1}{2}\right).

Legătura dintre continuitate și derivabilitate

Teorema fundamentală: f derivabila˘ ıˆn x0⇒f continua˘ ıˆn x0f \text{ derivabilă în } x_0 \Rightarrow f \text{ continuă în } x_0 Reciproca este falsă: f(x)=∣x∣f(x) = |x| este continuă în x=0x=0 dar nu derivabilă. Condiție de derivabilitate prin limite laterale: f derivabila˘ ıˆn x0  ⟺  fs′(x0)=fd′(x0)f \text{ derivabilă în } x_0 \iff f_s'(x_0) = f_d'(x_0) unde fs′(x0)=lim⁡x→x0−f(x)−f(x0)x−x0f_s'(x_0) = \lim_{x \to x_0^-} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} și fd′(x0)=lim⁡x→x0+f(x)−f(x0)x−x0f_d'(x_0) = \lim_{x \to x_0^+} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. La Bac — probleme cu doi parametri: Când se cere ff continuă ȘI derivabilă în x0x_0, obții un sistem de două ecuații cu doi necunoscuți.
greuTip Bac
Determinați a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} astfel încât f(x)={x2x≤0ax+bx>0f(x) = \begin{cases} x^2 & x \leq 0 \\ ax + b & x > 0 \end{cases} să fie derivabilă în x0=0x_0 = 0.
1
3 puncte
Continuitate în x0=0x_0 = 0: lim⁡x→0−x2=0=f(0)\lim_{x\to 0^-} x^2 = 0 = f(0) și lim⁡x→0+(ax+b)=b\lim_{x\to 0^+}(ax+b) = b. Deci b=0b = 0.
2
4 puncte
Derivabilitate: fs′(0)=lim⁡x→0−x2−0x=lim⁡x→0−x=0f_s'(0) = \lim_{x\to 0^-} \dfrac{x^2 - 0}{x} = \lim_{x\to 0^-} x = 0. fd′(0)=lim⁡x→0+ax+bx=af_d'(0) = \lim_{x\to 0^+} \dfrac{ax+b}{x} = a (cu b=0b=0).
3
2 puncte
fs′(0)=fd′(0)⇒a=0f_s'(0) = f_d'(0) \Rightarrow a = 0. Deci a=0a = 0, b=0b = 0.
mediuTip Bac
Fie f(x)={x2sin⁡1xx≠00x=0f(x) = \begin{cases} x^2 \sin\dfrac{1}{x} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}. Arătați că ff este continuă și derivabilă în x0=0x_0 = 0.
1
3 puncte
Continuitate: ∣f(x)∣=∣x2sin⁡1x∣≤x2|f(x)| = |x^2 \sin\dfrac{1}{x}| \leq x^2 pentru x≠0x \neq 0. Din lim⁡x→0x2=0\lim_{x\to 0} x^2 = 0 și teorema cleștelui, lim⁡x→0f(x)=0=f(0)\lim_{x\to 0} f(x) = 0 = f(0). Deci ff este continuă.
2
3 puncte
Derivabilitate: f′(0)=lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0x2sin⁡1xx=lim⁡x→0xsin⁡1xf'(0) = \lim_{x\to 0} \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x\to 0} \dfrac{x^2 \sin\frac{1}{x}}{x} = \lim_{x\to 0} x\sin\dfrac{1}{x}.
3
2 puncte
∣xsin⁡1x∣≤∣x∣→0|x\sin\dfrac{1}{x}| \leq |x| \to 0, deci f′(0)=0f'(0) = 0. Funcția este derivabilă în 00.

Greșeli frecvente

✗
Verific continuitatea doar la un capăt, nu ambele limite laterale
✓Continuitatea în x0x_0 cere lim⁡x→x0−f=lim⁡x→x0+f=f(x0)\lim_{x\to x_0^-} f = \lim_{x\to x_0^+} f = f(x_0) — toate trei egale.
Dacă funcția are 3 ramuri cu 2 puncte de tranziție, verifică continuitatea la amândouă.
✗
Confund: dacă ff e continuă, e și derivabilă
✓Continuitate nu implică derivabilitate. ∣x∣|x| e continuă dar nu derivabilă în x=0x=0.
Derivabilitatea este o condiție mai strictă — cere și că limitele derivatelor laterale coincid.
✗
Aplic teorema Darboux fără a preciza că ff este continuă
✓Precizez explicit că ff este continuă pe [a,b][a,b] ÎNAINTE de a aplica Darboux.
La Bac, justificarea continuității valorează puncte. Pentru polinoame: "continuă pe R\mathbb{R} ca funcție polinomială".
✗
La parametri: rezolv pentru continuitate și uit condiția de derivabilitate
✓Dacă se cere continuitate ȘI derivabilitate: sunt două condiții separate, două ecuații.
Continuitate dă o ecuație în parametri, derivabilitate dă o a doua ecuație — sistem cu doi necunoscuți.
✗
Spun că ff este discontinuă deoarece formula se schimbă (funcție pe ramuri)
✓O funcție pe ramuri poate fi perfect continuă! Discontinuitatea se stabilește doar prin calcul de limite, nu prin aspectul formulei.
De exemplu, f(x)=∣x∣f(x) = |x| se scrie pe ramuri dar este continuă pe tot R\mathbb{R}. Trebuie verificat matematic dacă limitele laterale coincid cu valoarea funcției.

Sfaturi pentru rezolvarea problemelor de continuitate la BAC

Probleme cu parametri: Dacă ff are un parametru aa și se cere continuitate în x0x_0: egalează limitele laterale și valoarea funcției. Dacă se cere și derivabilitate: ai un sistem de 2 ecuații cu 2 necunoscuți.
Teorema Darboux la demonstrații — cei 4 pași: (1) Definești funcția auxiliară potrivită. (2) Arăți că este continuă (explicit!). (3) Calculezi valori la două puncte cu semne opuse. (4) Aplici Darboux. Acești 4 pași valorează puncte complete.
Funcții polinomiale și elementare: Polinoamele sunt continue pe tot R\mathbb{R} — nu trebuie justificat suplimentar. Funcțiile raționale sunt continue oriunde numitorul ≠0\neq 0. ln⁡x\ln x este continuă pe (0,+∞)(0, +\infty).

Formule esențiale de continuitate și derivabilitate

Continuitate în x0x_0
lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)
Echivalent: lim⁡x→x0−f=lim⁡x→x0+f=f(x0)\lim_{x\to x_0^-} f = \lim_{x\to x_0^+} f = f(x_0).
Continuitate laterală dreapta
lim⁡x→x0+f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)
Continuitate la dreapta în x0x_0.
Continuitate laterală stânga
lim⁡x→x0−f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)
Continuitate la stânga în x0x_0.
Derivabilitate ⇒\Rightarrow continuitate
ff derivabilă în x0x_0 ⇒\Rightarrow ff continuă în x0x_0
Reciproca este falsă: ∣x∣|x| e continuă dar nu derivabilă în 0.
Derivabilitate prin limite laterale
ff derivabilă   ⟺  \iff fs′(x0)=fd′(x0)f_s'(x_0) = f_d'(x_0)
Derivatele laterale trebuie să coincidă.
Teorema Darboux
ff continuă pe [a,b][a,b], f(a)⋅f(b)<0f(a)\cdot f(b)<0 ⇒\Rightarrow ∃c∈(a,b):f(c)=0\exists c\in(a,b): f(c)=0
Instrument standard pentru a demonstra existența soluțiilor.
Teorema Weierstrass
ff continuă pe [a,b][a,b] ⇒\Rightarrow ff atinge maximul și minimul
Valabil doar pe intervale închise și mărginite.

Capitole inrudite

DerivateAplicații ale derivatelorAsimptoteStudiul funcțiilor

Exerciteaza 109 probleme de Continuitate

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 290 grile de Continuitate

Intrebari cu variante de raspuns

→
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.