Probleme de Continuitate — Clasa a 11-a

Pregătire BAC M1Analiza Matematica • 399 probleme cu rezolvări complete
Teorie Continuitate — Formule si exemple rezolvate

Continuitatea funcțiilor studiază comportamentul funcțiilor în puncte și pe intervale. Include criteriul de continuitate, tipuri de discontinuități și proprietăți ale funcțiilor continue.

Verificat de profesori de matematică

Ușor

71

probleme

Mediu

38

probleme

Grile de Continuitate

290 întrebări cu variante de răspuns

→

Exemple de probleme

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Factorizați numărătorul și numitorul: x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2-5x+6=(x-2)(x-3) și x2−12x+20=(x−2)(x−10)x^2-12x+20=(x-2)(x-10).
23 puncte
Simplificați prin x−2x-2 pentru x≠2x\neq2, obținând x−3x−10\frac{x-3}{x-10}.
34 puncte
Evaluați limita prin înlocuire: lim⁡x→2x−3x−10=2−32−10=−1−8=18\lim_{x\to2}\frac{x-3}{x-10}=\frac{2-3}{2-10}=\frac{-1}{-8}=\frac{1}{8}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se verifică substituția și se obține forma nedeterminată 00\frac{0}{0}.;
24 puncte
Se factorizează x3−8=(x−2)(x2+2x+4)x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4) și se arată că x3−3x−2=(x−2)(x+1)2x^3-3x-2=(x-2)(x+1)^2, apoi se simplifică factorul comun (x−2)(x-2).;
33 puncte
Se înlocuiește x=2x=2 în expresia simplificată și se calculează limita (2+1)222+2⋅2+4=912=34\frac{(2+1)^2}{2^2+2\cdot2+4}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Observăm că funcția este continuă în x=1x=1, deci putem face substituția directă.;
26 puncte
Calculăm valorile: numărătorul la x=1x=1 este 1−2−1=−21-2-1=-2, numitorul la x=1x=1 este 1−2−1=−21-2-1=-2, deci limita este −2−2=1\frac{-2}{-2}=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Observați că pentru x→4x\to 4 avem forma 0/00/0. Multiplicați numărătorul și numitorul cu conjugata numărătorului 1+2x+3\sqrt{1+2x}+3.
26 puncte
Obțineți 1+2x−9(x−2)(1+2x+3)=2(x−4)(x−2)(1+2x+3)=2(x−2)(x+2)(x−2)(1+2x+3)\frac{1+2x-9}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{1+2x}+3)}=\frac{2(x-4)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{1+2x}+3)}=\frac{2(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{1+2x}+3)}. Anulați x−2\sqrt{x}-2 și evaluați în x=4x=4: 2(4+2)1+8+3=2⋅46=43\frac{2(\sqrt{4}+2)}{\sqrt{1+8}+3}=\frac{2\cdot 4}{6}=\frac{4}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→81−x3−32+3x3\lim_{x\to 8}\frac{\sqrt[3]{1-x}-3}{2+3\sqrt[3]{x}}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Observăm că funcția  ⋅ 3\sqrt[3]{\,\cdot\,} este continuă pe R\mathbb{R}, deci limita se obține prin substituție directă.
26 puncte
Înlocuim x=8x=8 și calculăm numărătorul și numitorul: 1−83−3=−73−3\sqrt[3]{1-8}-3=-\sqrt[3]{7}-3, 2+383=2+3⋅2=82+3\sqrt[3]{8}=2+3\cdot2=8.
32 puncte
Concluzie: limita este −73−38\dfrac{-\sqrt[3]{7}-3}{8}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6ContinuitateTrigonometrie
Calculați limita lim⁡x→0cos⁡(x/2)−sin⁡(x/2)cos⁡x.\lim_{x\to 0} \dfrac{\cos(x/2) - \sin(x/2)}{\cos x}.
Ușor#7ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→45+x−1x2+4x\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{5 + x} - 1}{x^2 + 4x}.
Mediu#8Continuitate
Folosind definiția, arătați că funcția f(x)={xsin⁡(1/x),x≠00,x=0f(x)=\begin{cases} x\sin(1/x), & x\neq 0\\ 0, & x=0 \end{cases} este continuă în punctul x=0x=0.
Ușor#9ContinuitateStudiul funcțiilor
Folosind definiția, arătați că funcția f(x)={sin⁡x∣x∣,daca˘ x≠01,daca˘ x=0f(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}{|x|},&\text{dacă }x\neq 0\\1,&\text{dacă }x=0\end{cases} este discontinuuă în punctul x=0x = 0.
Mediu#10ContinuitateDerivateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)={x2+ax+b,daca˘ x≤2cx+d,daca˘ x>2f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b, & \text{dacă } x \leq 2 \\ cx + d, & \text{dacă } x > 2 \end{cases}. Știind că ff este continuă și derivabilă în x=2x=2, f′(2)=3f'(2)=3 și f(0)=1f(0)=1, determinați parametrii reali a,b,c,da, b, c, d.

Și alte 99 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Accesează toate cele 399 probleme de Continuitate cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Alte capitole pentru clasa a 11-a

→Aplicații ale derivatelor
536 probleme
→Asimptote
401 probleme
→Derivate
497 probleme
→Determinanți
564 probleme
→Matrici
509 probleme

Câștigă XP și badge-uri rezolvând probleme

Sistem de niveluri (1-20), clasament săptămânal și serie zilnică de învățare. Începe gratuit cu 50 de credite.