Grile de Grupuri — Clasa a 12-a

282 întrebări cu variante de răspuns • Algebra

Teorie Grupuri — Formule si exemple rezolvate

Probleme de Grupuri

297 exerciții cu rezolvare pas cu pas

→
Ușor#1
În grupul (Z6,+6)(\mathbb{Z}_6, +_6), unde +6+_6 este adunarea modulo 6, care este elementul neutru?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
F) 5

Explicație

Elementul neutru într-un grup cu operația de adunare modulo n este întotdeauna 0, deoarece pentru orice a∈Z6a \in \mathbb{Z}_6, a+60=amod  6a +_6 0 = a \mod 6.
Greu#2
Fie grupul (Z7∗,⋅7)(\mathbb{Z}_7^*, \cdot_7), unde Z7∗={1,2,3,4,5,6}\mathbb{Z}_7^* = \{1,2,3,4,5,6\} și ⋅7\cdot_7 este înmulțirea modulo 7. Care este inversul elementului 3 în acest grup?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
F) 6

Explicație

Inversul lui 3 este acel x∈Z7∗x \in \mathbb{Z}_7^* astfel încât 3⋅7x=13 \cdot_7 x = 1. Deoarece 3×5=15≡1mod  73 \times 5 = 15 \equiv 1 \mod 7, rezultă că inversul este 5.
Mediu#3
Considerăm mulțimea R\mathbb{R} a numerelor reale cu operația ∗* definită prin a∗b=a+b+1a * b = a + b + 1 pentru orice a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Această structură algebrică:
A) formează un grup.
B) nu formează un grup deoarece operația nu este asociativă.
C) nu formează un grup deoarece nu există element neutru.
D) nu formează un grup deoarece nu orice element are invers.
E) formează un monoid dar nu un grup.
F) formează un semigrup dar nu un monoid.

Explicație

Operația este asociativă: (a∗b)∗c=a+b+c+2=a∗(b∗c)(a*b)*c = a+b+c+2 = a*(b*c). Elementul neutru este e=−1e = -1 deoarece a∗(−1)=aa*(-1) = a. Orice element aa are inversul a′=−a−2a' = -a-2 astfel încât a∗a′=−1a*a' = -1. Prin urmare, formează un grup.
Ușor#4
În grupul (Z5,+5)(\mathbb{Z}_5, +_5) al claselor de resturi modulo 5 cu adunarea, care este inversul elementului 3?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
F) 5

Explicație

Într-un grup aditiv, inversul unui element aa este elementul bb astfel încât a+b≡0mod  5a + b \equiv 0 \mod 5. Pentru a=3a=3, avem 3+2=5≡0mod  53+2=5 \equiv 0 \mod 5, deci inversul este 2.
Ușor#5
În grupul (Z,+)(\mathbb{Z}, +), care este inversul elementului 55?
A) −5-5
B) 55
C) 00
D) 15\frac{1}{5}
E) 1010
F) nu are invers

Explicație

În grupul aditiv al numerelor întregi, fiecare element aa are inversul −a-a, deoarece a+(−a)=0a + (-a) = 0, unde 00 este elementul neutru. Astfel, inversul lui 55 este −5-5.
Mediu#6
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu elementul neutru ee. Dacă pentru un element a∈Ga \in G avem a∗a=ea * a = e, atunci care dintre următoarele este adevărată?
A) a=ea = e
B) aa este inversul lui sine însuși
C) aa nu are invers
D) a∗e=aa * e = a
E) Grupul este comutativ
F) aa este elementul neutru

Explicație

Dacă a∗a=ea * a = e, atunci din definiția inversei, aa este propriul său invers, deoarece a∗a=ea * a = e implică că a−1=aa^{-1} = a. Celelalte afirmații nu sunt în general adevărate în condiția dată.
Mediu#7
Care dintre următoarele mulțimi, împreună cu operația indicată, formează un grup?
A) N\mathbb{N} cu adunarea
B) Z\mathbb{Z} cu înmulțirea
C) Q\mathbb{Q} cu adunarea
D) {0,1}\{0, 1\} cu înmulțirea
E) {−1,0,1}\{-1, 0, 1\} cu adunarea
F) R\mathbb{R} cu înmulțirea

Explicație

Q\mathbb{Q} cu adunarea este un grup: adunarea este asociativă, elementul neutru este 00, iar fiecare q∈Qq \in \mathbb{Q} are inversul −q-q. Celelalte mulțimi nu sunt grupuri din cauza lipsei inverselor sau a neînchiderii operației.
Mediu#8
Într-un grup (G,∗)(G, *), dacă a∗b=a∗ca * b = a * c, atunci:
A) b=cb = c
B) a=ea = e
C) b=c−1b = c^{-1}
D) a=b∗ca = b * c
E) a−1∗b=ca^{-1} * b = c
F) b∗a=c∗ab * a = c * a

Explicație

Aplicând legea de simplificare la stânga, compunem cu a−1a^{-1}: a−1∗(a∗b)=a−1∗(a∗c)a^{-1} * (a * b) = a^{-1} * (a * c). Prin asociativitate, (a−1∗a)∗b=(a−1∗a)∗c(a^{-1} * a) * b = (a^{-1} * a) * c, deci e∗b=e∗ce * b = e * c, adică b=cb = c.
Ușor#9
În grupul (Z3,+3)(\mathbb{Z}_3, +_3), unde Z3={0,1,2}\mathbb{Z}_3 = \{0,1,2\} și +3+_3 este adunarea modulo 3, care este elementul simetric al lui 2?
A) 0
B) 1
C) 2
D) -1
E) 3
F) nu există

Explicație

Elementul simetric al lui aa în grup este bb astfel încât a+3b=0a +_3 b = 0. Pentru a=2a=2, 2+31=3≡0(mod3)2 +_3 1 = 3 \equiv 0 \pmod{3}, deci simetricul este 1.
Mediu#10
Care dintre următoarele mulțimi NU este un grup în raport cu operația specificată?
A) (Z,+)(\mathbb{Z}, +)
B) (R∗,⋅)(\mathbb{R}^*, \cdot) unde R∗=R∖{0}\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}
C) (N,+)(\mathbb{N}, +)
D) (Q,+)(\mathbb{Q}, +)
E) ({1,−1},⋅)(\{1, -1\}, \cdot)
F) (C∗,⋅)(\mathbb{C}^*, \cdot) unde C∗=C∖{0}\mathbb{C}^* = \mathbb{C} \setminus \{0\}

Explicație

(N,+)(\mathbb{N}, +) nu este un grup deoarece elementele din N\mathbb{N} nu au inverse în N\mathbb{N} față de adunare. De exemplu, pentru 1 nu există n∈Nn \in \mathbb{N} astfel încât 1+n=01 + n = 0. Celelalte mulțimi satisfac toate axiomele grupurilor.
Ușor#11
Fie mulțimea G={1,−1}G = \{1, -1\} cu operația de înmulțire. Este aceasta un grup?
A) Da, este grup.
B) Nu, pentru că operația nu este asociativă.
C) Nu, pentru că nu există element neutru.
D) Nu, pentru că nu toate elementele au invers.
E) Da, dar nu este comutativ.
F) Nu, pentru că mulțimea are un număr par de elemente.

Explicație

Operația de înmulțire pe {1,−1}\{1, -1\} este asociativă, are elementul neutru 11, și fiecare element are invers: 1−1=11^{-1}=1 și (−1)−1=−1(-1)^{-1}=-1. Astfel, este un grup.
Mediu#12
Care dintre următoarele este un grup finit?
A) N\mathbb{N} cu adunarea
B) Z\mathbb{Z} cu scăderea
C) Q∗\mathbb{Q}^* cu înmulțirea
D) {0,1,2}\{0, 1, 2\} cu adunarea modulo 3
E) R\mathbb{R} cu înmulțirea
F) C\mathbb{C} cu adunarea

Explicație

Mulțimea {0,1,2}\{0,1,2\} cu adunarea modulo 3 formează un grup finit de ordin 3. Operația este asociativă, elementul neutru este 00, și fiecare element are un invers: 0−1=00^{-1}=0, 1−1=21^{-1}=2, 2−1=12^{-1}=1.

Și alte 270 grile disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Accesează toate cele 282 probleme de Grupuri cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.