Probleme de Grupuri — Clasa a 12-a

Pregătire BAC M1Algebra • 579 probleme cu rezolvări complete
Teorie Grupuri — Formule si exemple rezolvate

Grupurile sunt structuri algebrice formate dintr-o mulțime cu o lege de compoziție internă care satisface axiomele de grup. Capitol avansat de clasa a 12-a.

Verificat de profesori de matematică

Ușor

60

probleme

Mediu

221

probleme

Greu

16

probleme

Grile de Grupuri

282 întrebări cu variante de răspuns

→

Exemple de probleme

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Considerați orice a,b∈Ga, b \in G și calculați (ab)2=abab(ab)^2 = abab.\n
24 puncte
Din ipoteză, (ab)2=e(ab)^2 = e, deci abab=eabab = e. Înmulțind la dreapta cu bb, obținem aba=baba = b, apoi înmulțind la dreapta cu aa, obținem ab=baab = ba.\n
33 puncte
Deoarece ab=baab = ba pentru orice a,b∈Ga, b \in G, rezultă că GG este abelian.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Enumerați elementele lui S3S_3: S3={e,(12),(13),(23),(123),(132)}S_3 = \{ e, (12), (13), (23), (123), (132) \}, unde ee este permutarea identitate. Ordinele: ee ordin 1, (12),(13),(23)(12), (13), (23) ordin 2, (123),(132)(123), (132) ordin 3.\n
23 puncte
Identificați toate subgrupurile: subgrupul trivial {e}\{e\}, subgrupurile de ordin 2: {e,(12)},{e,(13)},{e,(23)}\{e, (12)\}, \{e, (13)\}, \{e, (23)\}, subgrupul de ordin 3: {e,(123),(132)}\{e, (123), (132)\}, și întregul grup S3S_3.\n
33 puncte
Verificați normalitatea: {e}\{e\} și S3S_3 sunt normale. Subgrupul de ordin 3 este normal deoarece are indice 2. Subgrupurile de ordin 2 nu sunt normale; de exemplu, pentru {e,(12)}\{e, (12)\} și (13)∈S3(13) \in S_3, (13)(12)(13)−1=(23)∉{e,(12)}(13)(12)(13)^{-1} = (23) \notin \{e, (12)\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificați închiderea: pentru orice A,B∈GA, B \in G, det⁡(AB)=det⁡(A)det⁡(B)=1⋅1=1\det(AB) = \det(A)\det(B) = 1 \cdot 1 = 1, deci AB∈GAB \in G.
22 puncte
Asociativitatea: înmulțirea matricelor este asociativă.
33 puncte
Elementul neutru: matricea identitate I2I_2 are det⁡(I2)=1\det(I_2) = 1, deci I2∈GI_2 \in G și pentru orice A∈GA \in G, A⋅I2=I2⋅A=AA \cdot I_2 = I_2 \cdot A = A.
43 puncte
Elementele simetrizabile: pentru orice A∈GA \in G, det⁡(A)=1≠0\det(A) = 1 \neq 0, deci AA este inversabilă și A−1A^{-1} are det⁡(A−1)=1det⁡(A)=1\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = 1, deci A−1∈GA^{-1} \in G.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Scrieți ipoteza: pentru orice x∈Gx \in G, x∗x=ex * x = e.
26 puncte
Demonstrați comutativitatea: luați a,b∈Ga, b \in G arbitrare. Din a2=ea^2 = e, avem a=a−1a = a^{-1}, și similar b=b−1b = b^{-1}. Atunci (a∗b)−1=b−1∗a−1=b∗a(a * b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1} = b * a. Dar din (a∗b)2=e(a * b)^2 = e, avem a∗b=(a∗b)−1a * b = (a * b)^{-1}, deci a∗b=b∗aa * b = b * a.
32 puncte
Concluzia: deoarece pentru orice a,b∈Ga,b \in G, a∗b=b∗aa * b = b * a, grupul GG este abelian.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5GrupuriLegi de compoziție
Fie mulțimea G=R∖{−1}G = \mathbb{R} \setminus \{-1\} și operația ∗* definită prin x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy pentru orice x,y∈Gx, y \in G. Demonstrați că (G,∗)(G, *) este un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm că operația ∗* este bine definită pe GG: pentru orice x,y∈Gx, y \in G, avem x∗y=x+y+xy∈Rx * y = x + y + xy \in \mathbb{R} și trebuie arătat că x∗y≠−1x * y \neq -1. Presupunând prin absurd că x+y+xy=−1x + y + xy = -1, obținem (x+1)(y+1)=0(x+1)(y+1)=0, deci x=−1x=-1 sau y=−1y=-1, ceea ce contrazice x,y∈Gx, y \in G. Așadar, x∗y∈Gx * y \in G.
23 puncte
Demonstrăm asociativitatea: pentru orice x,y,z∈Gx, y, z \in G, calculăm (x∗y)∗z=(x+y+xy)∗z=(x+y+xy)+z+(x+y+xy)z=x+y+xy+z+xz+yz+xyz(x * y) * z = (x + y + xy) * z = (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z = x + y + xy + z + xz + yz + xyz și x∗(y∗z)=x∗(y+z+yz)=x+(y+z+yz)+x(y+z+yz)=x+y+z+yz+xy+xz+xyzx * (y * z) = x * (y + z + yz) = x + (y + z + yz) + x(y + z + yz) = x + y + z + yz + xy + xz + xyz. Se observă că ambele expresii sunt egale, deci operația este asociativă.
32 puncte
Căutăm elementul neutru e∈Ge \in G astfel încât x∗e=xx * e = x pentru orice x∈Gx \in G. Din x∗e=x+e+xe=xx * e = x + e + xe = x, obținem e(1+x)=0e(1+x)=0. Pentru x≠−1x \neq -1, avem e=0e=0. Verificăm: 0∗x=0+x+0⋅x=x0 * x = 0 + x + 0 \cdot x = x, deci e=0e=0 este elementul neutru și 0∈G0 \in G.
43 puncte
Pentru fiecare x∈Gx \in G, căutăm inversul x−1x^{-1} astfel încât x∗x−1=0x * x^{-1} = 0. Din x+x−1+xx−1=0x + x^{-1} + x x^{-1} = 0, obținem x−1(1+x)=−xx^{-1}(1+x) = -x, deci x−1=−x1+xx^{-1} = \frac{-x}{1+x} pentru x≠−1x \neq -1. Verificăm că x−1∈Gx^{-1} \in G: dacă −x1+x=−1\frac{-x}{1+x} = -1, atunci −x=−1−x-x = -1 - x, adică 0=−10=-1, fals. Așadar, x−1x^{-1} există și aparține lui GG.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6GrupuriMatrici
Considerăm mulțimea H={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}H = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Arătați că HH este un subgrup al grupului (GL2(R),⋅)(GL_2(\mathbb{R}), \cdot), unde GL2(R)GL_2(\mathbb{R}) este grupul matricelor inversabile de ordin 2 cu operația de înmulțire a matricelor.
Ușor#7GrupuriLegi de compoziție
Se consideră mulțimea G={a+b2∣a,b∈Z}G = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} și operația ∗* definită prin (a+b2)∗(c+d2)=(a+c)+(b+d)2(a + b\sqrt{2}) * (c + d\sqrt{2}) = (a+c) + (b+d)\sqrt{2}. Verificați dacă (G,∗)(G, *) este un grup. Dacă da, determinați elementul neutru și simetricul fiecărui element.
Mediu#8Grupuri
Fie (G,⋅)(G, \cdot) un grup și H={x∈G∣x2=e}H = \{ x \in G \mid x^2 = e \}, unde ee este elementul neutru al lui GG. Arătați că dacă GG este abelian, atunci HH este un subgrup al lui GG. Este adevărat și dacă GG nu este abelian?
Mediu#9GrupuriNumere Complexe
Fie mulțimea G={z∈C∣∣z∣=1}G = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} și operația ∗* definită prin z1∗z2=z1⋅z2z_1 * z_2 = z_1 \cdot z_2 (înmulțirea complexă). Arătați că (G,∗)(G, *) este un grup. Apoi determinați dacă submulțimea H={z∈G∣Re(z)=0}H = \{ z \in G \mid \text{Re}(z) = 0 \} este subgrup al lui GG.
Mediu#10GrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∘\circ pe R∗\mathbb{R}^* definită prin x∘y=x⋅y+a(x+y)+bx \circ y = x \cdot y + a(x + y) + b, unde a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui aa și bb pentru care (R∗,∘)(\mathbb{R}^*, \circ) este un grup. Pentru aceste valori, găsiți elementul neutru și simetricul fiecărui element x∈R∗x \in \mathbb{R}^*.

Și alte 287 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Accesează toate cele 579 probleme de Grupuri cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Alte capitole pentru clasa a 12-a

→Inele și corpuri
486 probleme
→Integrale definite
598 probleme
→Legi de compoziție
641 probleme
→Matematică aplicată
653 probleme
→Primitive
595 probleme

Întrebări frecvente despre Grupuri

Ce sunt grupurile în matematică?
Un grup este o mulțime G cu o operație · care satisface: asociativitate, existența elementului neutru și existența simetricului. Dacă operația este și comutativă, grupul se numește abelian.
Ce tipuri de probleme cu grupuri apar la BAC?
La BAC apar: verificarea axiomelor de grup, determinarea elementului neutru și a simetricului, subgrupuri, morfisme de grupuri și demonstrarea proprietăților algebrice.
Care este diferența dintre grup, inel și corp?
Grupul are o operație. Inelul are două operații (adunare și înmulțire) cu distribuitivitate. Corpul este un inel comutativ în care orice element nenul are invers față de înmulțire.

Câștigă XP și badge-uri rezolvând probleme

Sistem de niveluri (1-20), clasament săptămânal și serie zilnică de învățare. Începe gratuit cu 50 de credite.