Clasa 12Algebră

Grupuri — Teorie, Formule si Exemple

Grupurile sunt structuri algebrice fundamentale din programa de Matematica M1, clasa a 12-a. La examenul de Bacalaureat, grupurile apar frecvent la Subiectul II, unde cerințele tipice sunt: „Demonstrați că

(A, *)

este grup abelian", „Găsiți un subgrup" sau „Arătați că

f

este morfism de grupuri". Un grup se definește prin patru axiome — închidere, asociativitate, element neutru și existența inverselor — iar dacă operația este și comutativă, grupul se numește abelian. Stăpânirea axiomelor, a subgrupurilor și a morfismelor îți asigură punctaj maxim pe această temă obligatorie.

Definiția grupului — cele 4 axiome și proprietăți imediate

Grup: O pereche

(G, *)

unde

G

este o mulțime nevidă și

*

o lege de compoziție internă, satisfăcând: G1 (Internă/Închidere):

\forall a, b \in G: a * b \in G

G2 (Asociativitate):

\forall a, b, c \in G: (a * b) * c = a * (b * c)

G3 (Element neutru):

\exists\, e \in G: a * e = e * a = a, \quad \forall a \in G

G4 (Elemente inverse):

\forall a \in G, \exists\, a^{-1} \in G: a * a^{-1} = a^{-1} * a = e

Grup abelian (comutativ): Satisface în plus G5:

a * b = b * a, \quad \forall a, b \in G

Proprietăți imediate (demonstrabile din axiome):

Elementul neutru este unic
Inversul fiecărui element este unic
$(a^{-1})^{-1} = a$
$(a * b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}$ (atenție la ordinea inversată!)
Ecuațiile $a * x = b$ și $x * a = b$ au soluție unică în $G$

usorModel Bacalaureat — Subiectul II

Fie

A = \{a \in \mathbb{R} \mid a \neq -1\}

și

a * b = a + b + ab

. Demonstrați că

(A, *)

este grup abelian.

2 puncte

G1 (Internă):

a*b = a+b+ab = (1+a)(1+b)-1

. Dacă

a,b \neq -1

atunci

(1+a)(1+b)\neq 0

, deci

a*b \neq -1

, adică

a*b \in A

. ✓

2 puncte

G2 (Asociativitate):

(a*b)*c = (a+b+ab)+c+(a+b+ab)c = a+b+c+ab+ac+bc+abc

. Similar,

a*(b*c) = a+b+c+ab+ac+bc+abc

. Egalitate verificată. ✓

2 puncte

G3 (Element neutru): Rezolvăm

a*e = a

a+e+ae = a \Rightarrow e(1+a) = 0

. Cum

a \neq -1

, obținem

e = 0

. Verificare:

0 \in A

(căci

0 \neq -1

) și

a*0 = a+0+0 = a

0*a = 0+a+0 = a

. ✓

2 puncte

G4 (Invers): Rezolvăm

a*a' = 0

a+a'+aa' = 0 \Rightarrow a'(1+a) = -a \Rightarrow a' = -\dfrac{a}{1+a}

. Verificăm:

a' \neq -1

deoarece

-\frac{a}{1+a} = -1 \Leftrightarrow a = 1+a

(imposibil). Deci

a' \in A

. ✓

2 puncte

G5 (Comutativitate):

a*b = a+b+ab = b+a+ba = b*a

(adunarea și înmulțirea în

\mathbb{R}

sunt comutative). ✓ Deci

(A,*)

este grup abelian.

mediuBacalaureat 2023 — variantă similară

\mathbb{R}

, definim

x * y = x + y - 3

. Demonstrați că

(\mathbb{R}, *)

este grup abelian.

1 punct

G1:

x * y = x + y - 3 \in \mathbb{R}

, pentru orice

x, y \in \mathbb{R}

. ✓

2 puncte

G2:

(x*y)*z = (x+y-3)+z-3 = x+y+z-6

x*(y*z) = x+(y+z-3)-3 = x+y+z-6

. Egalitate. ✓

3 puncte

G3:

x*e = x \Rightarrow x+e-3 = x \Rightarrow e = 3

. Verificare:

3 \in \mathbb{R}

x*3 = x+3-3 = x

3*x = 3+x-3 = x

. ✓

2 puncte

G4:

x*x' = 3 \Rightarrow x+x'-3 = 3 \Rightarrow x' = 6-x

. Evident

x' \in \mathbb{R}

. ✓

2 puncte

G5:

x*y = x+y-3 = y+x-3 = y*x

. ✓

(\mathbb{R}, *)

este grup abelian.

Exemple clasice de grupuri — tabele de memorat pentru Bacalaureat

Grupuri abeliene standard — de memorat: | Grup | Neutru | Inversul lui

a

| |------|--------|-----------------| |

(\mathbb{Z}, +)

0

-a

| |

(\mathbb{Q}, +)

(\mathbb{R}, +)

0

-a

| |

(\mathbb{Q}^*, \cdot)

(\mathbb{R}^*, \cdot)

1

\frac{1}{a}

| |

(\mathbb{R}_{>0}, \cdot)

1

\frac{1}{a}

| |

(\mathbb{Z}_n, +_n)

0

n-k

(pentru

k

) | |

(M_n(\mathbb{R}), +)

O_n

-A

| Nu sunt grupuri (contraexemple importante):

$(\mathbb{Z}, \cdot)$ : $2$ nu are invers în $\mathbb{Z}$ ( $\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$ )
$(\mathbb{N}, +)$ : $1$ nu are invers ( $-1 \notin \mathbb{N}$ )
$(M_n(\mathbb{R}), \cdot)$ : matricea nulă nu este inversabilă (G4 pică)
$(\mathbb{R}, \cdot)$ : elementul $0$ nu are invers ( $\frac{1}{0}$ nu există)

Grup neabelian clasic:

(GL_n(\mathbb{R}), \cdot)

— matricele inversabile de ordin

n \geq 2

, cu înmulțirea. Neutru:

I_n

. NU este abelian: în general

A \cdot B \neq B \cdot A

usorVerificare directă

Justificați de ce

(\mathbb{Z}, \cdot)

nu este grup.

2 puncte

Verificăm G4: inversul lui

2 \in \mathbb{Z}

față de înmulțire ar trebui să fie

x

2 \cdot x = 1

, adică

x = \frac{1}{2}

3 puncte

\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}

, deci axioma G4 (existența inverselor) nu este satisfăcută.

(\mathbb{Z}, \cdot)

nu este grup.

mediuExercițiu de antrenament

Fie

A = \{a \in \mathbb{R} \mid a > 0, a \neq 1\}

și

a * b = a^{\ln b}

. Arătați că legea

*

este comutativă.

2 puncte

Calculăm

a * b = a^{\ln b} = e^{\ln a \cdot \ln b}

2 puncte

Calculăm

b * a = b^{\ln a} = e^{\ln b \cdot \ln a} = e^{\ln a \cdot \ln b}

1 punct

Deci

a * b = b * a

pentru orice

a, b \in A

. Legea este comutativă. ✓

Subgrupuri — criterii de verificare și teorema lui Lagrange

Subgrup:

H \subseteq G

este subgrup al lui

(G, *)

dacă

(H, *)

este ea însăși grup (cu aceeași operație). Criteriu de subgrup în 3 pași (mai eficient decât re-verificarea tuturor axiomelor):

$H \neq \emptyset$ (de obicei arătăm că $e \in H$ )
$\forall a, b \in H: a * b \in H$ (închidere)
$\forall a \in H: a^{-1} \in H$ (stabilitate la inversare)

Criteriu compact (o singură condiție):

H \neq \emptyset

și

\forall a, b \in H: a * b^{-1} \in H

. Subgrupuri triviale:

\{e\}

și

G

însuși sunt subgrupuri ale oricărui grup

(G, *)

. Teorema lui Lagrange: Dacă

(G, *)

este grup finit cu

|G| = n

și

H

este subgrup, atunci

|H|

divide

n

. Consecință practică: Dacă

|G| = 12

, subgrupurile pot avea doar ordinele

1, 2, 3, 4, 6, 12

. Exemple importante:

$(2\mathbb{Z}, +)$ este subgrup al lui $(\mathbb{Z}, +)$ — numerele pare, cu adunarea
$(n\mathbb{Z}, +)$ este subgrup al lui $(\mathbb{Z}, +)$ pentru orice $n \in \mathbb{N}$
Subgrupurile lui $(\mathbb{Z}, +)$ sunt exact mulțimile $n\mathbb{Z}$ , cu $n \in \mathbb{N}$

mediuExercițiu de antrenament

Găsiți toate subgrupurile lui

(\mathbb{Z}_6, +_6)

2 puncte

Prin teorema lui Lagrange, ordinele subgrupurilor divid

|\mathbb{Z}_6|=6

. Ordine posibile:

1, 2, 3, 6

3 puncte

Ordin 1: $\{0\}$ .
Ordin 2: $\{0,3\}$ (deoarece $3+_6 3=0$ , deci $3$ este inversul lui $3$ ).
Ordin 3: $\{0,2,4\}$ (deoarece $2+_6 2=4$ , $4+_6 2=0$ ).
Ordin 6: $\mathbb{Z}_6$ însuși.

Cele 4 subgrupuri ale lui

(\mathbb{Z}_6, +_6)

sunt:

\{0\}

\{0,3\}

\{0,2,4\}

\mathbb{Z}_6

mediuModel Bacalaureat

Fie

(\mathbb{R}^*, \cdot)

grupul numerelor reale nenule cu înmulțirea. Arătați că

H = \{-1, 1\}

este subgrup.

1 punct

Nevid:

H = \{-1, 1\} \neq \emptyset

. ✓

2 puncte

Închidere:

1 \cdot 1 = 1 \in H

1 \cdot (-1) = -1 \in H

(-1) \cdot 1 = -1 \in H

(-1)\cdot(-1) = 1 \in H

. ✓

2 puncte

Inversul:

1^{-1} = 1 \in H

(-1)^{-1} = -1 \in H

. ✓ Deci

(H, \cdot)

este subgrup al lui

(\mathbb{R}^*, \cdot)

Morfisme de grupuri — homomorfisme, izomorfisme și nucleu

Morfism (homomorfism) de grupuri: O funcție

f: (G, *) \to (H, \circ)

cu proprietatea:

f(a * b) = f(a) \circ f(b), \quad \forall a, b \in G

Proprietăți automate (consecințe directe, nu trebuie demonstrate separat):

$f(e_G) = e_H$ (imaginea neutrului este neutrul)
$f(a^{-1}) = [f(a)]^{-1}$ (imaginea inversului este inversul imaginii)

Tipuri de morfisme:

Izomorfism: morfism bijectiv. Notăm $G \cong H$ (grupuri structural identice).
Monomorfism: morfism injectiv ( $f(a) = f(b) \Rightarrow a = b$ )
Epimorfism: morfism surjectiv ( $\forall h \in H, \exists g \in G: f(g) = h$ )
Endomorfism: morfism de la $G$ la $G$
Automorfism: izomorfism de la $G$ la $G$

Nucleul morfismului:

\ker f = \{a \in G \mid f(a) = e_H\}

$\ker f$ este întotdeauna subgrup al lui $G$
$f$ este injectiv $\Leftrightarrow \ker f = \{e_G\}$

Imaginea morfismului:

\text{Im}\, f = \{f(a) \mid a \in G\}

— este subgrup al lui

H

mediuProblemă de antrenament

Demonstrați că

f: (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}^*, \cdot)

f(x) = 2^x

este morfism de grupuri. Este surjectiv?

3 puncte

Morfism:

f(x+y) = 2^{x+y} = 2^x \cdot 2^y = f(x) \cdot f(y)

, pentru orice

x, y \in \mathbb{R}

. ✓

2 puncte

Verificare proprietăți automate:

f(0) = 2^0 = 1 = e_{\mathbb{R}^*}

✓.

f(-x) = 2^{-x} = \frac{1}{2^x} = [f(x)]^{-1}

✓.

2 puncte

Nu este surjectiv:

\text{Im}\, f = \{2^x \mid x \in \mathbb{R}\} = (0,+\infty) \subsetneq \mathbb{R}^*

. De exemplu,

-1 \in \mathbb{R}^*

nu are preimaginea, deoarece

2^x > 0

pentru orice

x \in \mathbb{R}

mediuBacalaureat — variantă similară

Fie

f: (\mathbb{Z}, +) \to (\mathbb{Z}_5, +_5)

f(n) = \overline{n}

(restul împărțirii la 5). Arătați că

f

este morfism și determinați

\ker f

3 puncte

Morfism:

f(m+n) = \overline{m+n} = \overline{m} +_5 \overline{n} = f(m) +_5 f(n)

, pentru orice

m, n \in \mathbb{Z}

. ✓

3 puncte

Nucleul:

\ker f = \{n \in \mathbb{Z} \mid f(n) = \overline{0}\} = \{n \in \mathbb{Z} \mid 5 \mid n\} = 5\mathbb{Z}

2 puncte

Observație:

f

este surjectiv (epimorfism) deoarece

\forall \overline{k} \in \mathbb{Z}_5

f(k) = \overline{k}

. Nu este injectiv deoarece

\ker f = 5\mathbb{Z} \neq \{0\}

Ordinul unui element și grupuri ciclice

Ordinul unui element $a \in G$ : Cel mai mic

n \in \mathbb{N}^*

astfel încât

a^n = e

. Se notează

\text{ord}(a) = n

. Dacă nu există un astfel de

n

, spunem că

a

are ordin infinit. Notație:

a^n

înseamnă

\underbrace{a * a * \cdots * a}_{n}

, iar

a^0 = e

a^{-n} = (a^{-1})^n

. Proprietăți ale ordinului:

$\text{ord}(e) = 1$
$a^k = e \Leftrightarrow \text{ord}(a) \mid k$
Dacă $|G| = n$ (finit), atunci $\text{ord}(a)$ divide $n$ (consecință a teoremei lui Lagrange)

Grup ciclic:

(G, *)

este ciclic dacă

\exists g \in G

G = \{g^k \mid k \in \mathbb{Z}\}

. Elementul

g

se numește generator. Exemple:

$(\mathbb{Z}_n, +_n)$ este ciclic, generat de $\overline{1}$
$(\mathbb{Z}, +)$ este ciclic infinit, generat de $1$ (sau $-1$ )
Orice grup ciclic este abelian

usorExercițiu de antrenament

Determinați ordinul fiecărui element din

(\mathbb{Z}_4, +_4)

1 punct

\overline{0}

\text{ord}(\overline{0}) = 1

(este elementul neutru).

2 puncte

\overline{1}

\overline{1}, \overline{1}+\overline{1}=\overline{2}, \overline{3}, \overline{0}

. Ajungem la

\overline{0}

după 4 pași, deci

\text{ord}(\overline{1}) = 4

2 puncte

\overline{2}

\overline{2}+\overline{2}=\overline{0}

, deci

\text{ord}(\overline{2}) = 2

\overline{3}

\overline{3}, \overline{2}, \overline{1}, \overline{0}

, deci

\text{ord}(\overline{3}) = 4

Generatorii lui

(\mathbb{Z}_4, +_4)

sunt

\overline{1}

și

\overline{3}

(elementele de ordin 4).

mediuExercițiu clasic

În grupul

(\mathbb{Z}_{12}, +_{12})

, determinați ordinul elementului

\overline{4}

și subgrupul generat de

\overline{4}

2 puncte

Calculăm puterile succesive:

\overline{4}, \overline{8}, \overline{0}

. Deci

3 \cdot \overline{4} = \overline{12} = \overline{0}

2 puncte

\text{ord}(\overline{4}) = 3

(cel mai mic

n > 0

n \cdot \overline{4} = \overline{0}

1 punct

Subgrupul generat:

\langle \overline{4} \rangle = \{\overline{0}, \overline{4}, \overline{8}\}

. Are ordinul 3, care divide

12

(conform teoremei lui Lagrange). ✓

Greșeli frecvente la problemele cu grupuri

✗

Verific doar 2-3 axiome și concluzionez că e grup

✓Trebuie verificate TOATE cele 4 axiome: G1, G2, G3, G4 (plus G5 dacă se cere abelian)

La Bacalaureat, fiecare axiomă valorează puncte separate. Omiterea oricăreia înseamnă pierdere de puncte, chiar dacă celelalte sunt corecte.

✗

Afirm elementul neutru fără a verifica ambele părți:

a * e = a

și

e * a = a

✓Trebuie verificat atât

a * e = a

cât și

e * a = a

, mai ales dacă legea nu este comutativă

Dacă legea este comutativă (demonstrată anterior), verificarea dintr-o singură parte este suficientă. Altfel, sunt obligatorii ambele.

✗

Nu verific că elementul neutru aparține mulțimii

A

✓După ce găsesc

e

, trebuie să verific explicit

e \in A

De exemplu, dacă

A = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}

și găsesc

e = 0

, atunci

e \notin A

și G3 nu este satisfăcută.

✗

(\mathbb{Z}, \cdot)

este grup, pentru că are element neutru

1

✓

(\mathbb{Z}, \cdot)

NU este grup: elementul

2

nu are invers în

\mathbb{Z}

Existența elementului neutru nu garantează structura de grup. Inversul lui

2

ar trebui să fie

\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}

✗

Scriu

(a * b)^{-1} = a^{-1} * b^{-1}

✓

(a * b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}

— ordinea se inversează!

Similar cu matricele:

(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}

. Ordinea se păstrează doar în grupuri abeliene.

✗

Confund subgrup cu submulțime

✓O submulțime

H \subseteq G

este subgrup doar dacă

(H, *)

este ea însăși grup

\{1, 2, 3\} \subset \mathbb{Z}

nu este subgrup al lui

(\mathbb{Z}, +)

deoarece

2 + 3 = 5 \notin \{1,2,3\}

(nu e închisă).

Strategii pentru problemele cu grupuri la Bacalaureat

Structura tipică la Subiectul II: (a) Demonstrați că

(A,*)

este grup abelian (7-8p). (b) Găsiți un subgrup propriu sau determinați inversul unui element concret (2-3p). (c) Demonstrați că o funcție este morfism / găsiți nucleul (5p).

Checklist de rezolvare — în această ordine:

G1 (Internă): arăt $a*b \in A$ verificând condițiile pe $A$
G2 (Asociativitate): calculez separat $(a*b)*c$ și $a*(b*c)$ , apoi le compar
G3 (Neutru): rezolv $a*e=a$ , verific $e \in A$ și ambele părți
G4 (Invers): rezolv $a*x=e$ , verific $x \in A$
G5 (dacă se cere abelian): compar $a*b$ cu $b*a$

Asociativitatea — cel mai lung calcul: Dezvoltă complet

(a*b)*c

și

a*(b*c)

separat. Scrie fiecare pas pe linie nouă. La BAC, examinatorii verifică dacă ai făcut calculul efectiv, nu doar „se verifică prin calcul direct".

Truc pentru legile de forma $a * b = a + b + kab$ : Scrie

a * b = (1+ka)(1+kb)/k - 1/k

sau factorisează prin

1 + ka

. Asociativitatea devine evidentă prin substituția

\varphi(a) = 1 + ka

, care transformă legea într-o înmulțire.

Timp recomandat: 20-25 de minute pentru o problemă completă de grup. Începe cu G1 și G2 (cele mai grele), apoi G3-G5 sunt de obicei calcule scurte.

Formulele esențiale pentru grupuri — sinteză

G1 — Internă (închidere)

\forall a, b \in G: a * b \in G

Rezultatul operației rămâne în mulțime.

G2 — Asociativitate

(a * b) * c = a * (b * c)

Ordinea grupării operațiilor nu contează.

G3 — Element neutru

\exists\, e \in G: a * e = e * a = a, \quad \forall a \in G

Elementul neutru este unic.

G4 — Element invers

\forall a \in G,\; \exists\, a^{-1} \in G: a * a^{-1} = e \text{ și } a^{-1} * a = e

Inversul fiecărui element există și este unic.

G5 — Comutativitate (grup abelian)

a * b = b * a, \quad \forall a, b \in G

Axiomă suplimentară, necesară doar pentru grup abelian.

Inversul produsului

(a * b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}

Atenție: ordinea se inversează (ca la matrici).

Criteriu de subgrup (compact)

H \neq \emptyset

și

\forall a,b \in H: a * b^{-1} \in H

Condiție necesară și suficientă pentru subgrup.

Teorema lui Lagrange

|H|

divide

|G|

(pentru

G

finit)

Ordinul oricărui subgrup divide ordinul grupului.

Condiția de morfism

f(a * b) = f(a) \circ f(b), \quad \forall a, b \in G

Implică automat

f(e_G)=e_H

și

f(a^{-1})=[f(a)]^{-1}

Nucleul morfismului

\ker f = \{a \in G \mid f(a) = e_H\}

f

injectiv

\Leftrightarrow \ker f = \{e_G\}

Capitole inrudite

Legi de compoziție Inele și corpuri Matrici Determinanți

Exerciteaza 297 probleme de Grupuri

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 282 grile de Grupuri

Intrebari cu variante de raspuns

→

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.