Grile de Logaritmi — Clasa a 10-a

289 întrebări cu variante de răspuns • Algebra

Teorie Logaritmi — Formule si exemple rezolvate

Probleme de Logaritmi

218 exerciții cu rezolvare pas cu pas

Greu#1

Dacă

\log_{12}{18} = a

, atunci

\log_{24}{54}

este egal cu:

\frac{3a-1}{3-a}

\frac{2a-1}{2-a}

\frac{5a-1}{5-a}

\frac{3a+1}{3+a}

Explicație

Notăm

x = \log_{2}{3}

. Atunci

\log_{12}{18} = \frac{\log_{2}{18}}{\log_{2}{12}} = \frac{\log_{2}(2 \cdot 3^2)}{\log_{2}(2^2 \cdot 3)} = \frac{1 + 2x}{2 + x} = a

. Rezolvăm pentru

x

a(2+x) = 1+2x \Rightarrow 2a + ax = 1+2x \Rightarrow 2a - 1 = 2x - ax = x(2-a) \Rightarrow x = \frac{2a-1}{2-a}

(cu

a \neq 2

). Acum calculăm

\log_{24}{54} = \frac{\log_{2}{54}}{\log_{2}{24}} = \frac{\log_{2}(2 \cdot 3^3)}{\log_{2}(2^3 \cdot 3)} = \frac{1 + 3x}{3 + x}

. Înlocuim

x

\frac{1+3x}{3+x} = \frac{1+3\cdot\frac{2a-1}{2-a}}{3+\frac{2a-1}{2-a}} = \frac{\frac{2-a+6a-3}{2-a}}{\frac{6-3a+2a-1}{2-a}} = \frac{5a-1}{5-a}

Greu#2

Dacă

a = \log_{12} 18

, atunci

\log_{24} 16

este egal cu:

\frac{4(2-a)}{5-a}

\frac{4(1-a)}{5-a}

\frac{4(2-a)}{5+a}

\frac{4(1-a)}{5+a}

Explicație

Fie

t = \log_2 3

. Atunci

a = \log_{12} 18 = \frac{\log_2 18}{\log_2 12} = \frac{\log_2 (2 \cdot 3^2)}{\log_2 (2^2 \cdot 3)} = \frac{1 + 2t}{2 + t}

. Rezolvăm ecuația în raport cu

t

a(2+t) = 1+2t \Rightarrow 2a + a t = 1+2t \Rightarrow 2a - 1 = t(2-a) \Rightarrow t = \frac{2a-1}{2-a}

(cu

2-a \neq 0

). Calculăm

\log_{24} 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2 24} = \frac{4}{\log_2 (2^3 \cdot 3)} = \frac{4}{3+t}

. Înlocuim

t

\frac{4}{3 + \frac{2a-1}{2-a}} = \frac{4}{\frac{3(2-a) + (2a-1)}{2-a}} = \frac{4(2-a)}{6-3a+2a-1} = \frac{4(2-a)}{5-a}

Greu#3

Dacă

a = \log_{12} 18

, atunci

\log_{24} 54

este egal cu:

\frac{a+1}{a-1}

\frac{5a-1}{5-a}

\frac{3a+1}{3-a}

\frac{2a+1}{2-a}

Explicație

Fie

a = \log_{12} 18

. Exprimăm

a

folosind formula schimbării bazei:

a = \frac{\log 18}{\log 12} = \frac{\log(2 \cdot 3^2)}{\log(2^2 \cdot 3)} = \frac{\log 2 + 2\log 3}{2\log 2 + \log 3}

. Notăm

x = \log 2

y = \log 3

. Atunci

a = \frac{x+2y}{2x+y}

. Rezolvăm pentru raportul

t = \frac{y}{x}

a = \frac{1+2t}{2+t} \implies a(2+t) = 1+2t \implies 2a + at = 1+2t \implies 2a - 1 = t(2-a) \implies t = \frac{2a-1}{2-a}

(pentru

a \neq 2

). Acum calculăm

b = \log_{24} 54 = \frac{\log 54}{\log 24} = \frac{\log(2 \cdot 3^3)}{\log(2^3 \cdot 3)} = \frac{x+3y}{3x+y} = \frac{1+3t}{3+t}

. Înlocuim expresia lui

t

b = \frac{1+3 \cdot \frac{2a-1}{2-a}}{3 + \frac{2a-1}{2-a}} = \frac{\frac{2-a + 3(2a-1)}{2-a}}{\frac{3(2-a) + (2a-1)}{2-a}} = \frac{2-a+6a-3}{6-3a+2a-1} = \frac{5a-1}{5-a}

. Deci

\log_{24} 54 = \frac{5a-1}{5-a}

Greu#4

Dacă

a > b > 1

și

\log_a b + \log_b a = \frac{10}{3}

, atunci

\log_a b - \log_b a

este egal cu:

\frac{8}{3}

-\frac{8}{3}

\frac{10}{3}

-\frac{10}{3}

Explicație

Notăm

t = \log_a b

. Atunci

\log_b a = \frac{1}{t}

. Ecuația devine

t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3}

. Înmulțind cu

t

t^2 + 1 = \frac{10}{3}t

, adică

3t^2 - 10t + 3 = 0

. Discriminantul:

\Delta = 100 - 36 = 64

. Soluțiile:

t = \frac{10 \pm 8}{6}

, deci

t_1 = 3

t_2 = \frac{1}{3}

. Condiția

a > b > 1

implică

\log_a b < \log_a a = 1

, deci

t < 1

. Alegem

t = \frac{1}{3}

. Atunci

\log_a b - \log_b a = t - \frac{1}{t} = \frac{1}{3} - 3 = -\frac{8}{3}

Greu#5

Dacă

a = \log_2 3

b = \log_3 5

c = \log_7 2

, atunci

\log_{140} 63

este egal cu:

\frac{2ac+1}{abc+2c+1}

\frac{2a+1}{ab+2+c}

\frac{2ac+1}{abc+2+1}

\frac{2a+c}{ab+2c+1}

Explicație

Se exprimă

\log_{140} 63

folosind formula de schimbare a bazei:

\log_{140} 63 = \frac{\log 63}{\log 140}

. Descompunem în factori primi:

63 = 3^2 \cdot 7

140 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7

. Atunci

\log_{140} 63 = \frac{\log(3^2 \cdot 7)}{\log(2^2 \cdot 5 \cdot 7)} = \frac{2\log 3 + \log 7}{2\log 2 + \log 5 + \log 7}

. Din ipoteză:

a = \log_2 3 = \frac{\log 3}{\log 2} \Rightarrow \log 3 = a \log 2

b = \log_3 5 = \frac{\log 5}{\log 3} \Rightarrow \log 5 = b \log 3 = ab \log 2

c = \log_7 2 = \frac{\log 2}{\log 7} \Rightarrow \log 7 = \frac{\log 2}{c}

. Înlocuim: Numărător:

2\log 3 + \log 7 = 2a \log 2 + \frac{\log 2}{c} = \log 2 \left(2a + \frac{1}{c}\right)

. Numitor:

2\log 2 + \log 5 + \log 7 = 2\log 2 + ab \log 2 + \frac{\log 2}{c} = \log 2 \left(2 + ab + \frac{1}{c}\right)

. Obținem:

\log_{140} 63 = \frac{2a + \frac{1}{c}}{2 + ab + \frac{1}{c}} = \frac{2a + \frac{1}{c}}{2 + ab + \frac{1}{c}} \cdot \frac{c}{c} = \frac{2ac + 1}{2c + abc + 1}

. Deci varianta corectă este A.

Greu#6

Dacă

\log_{12} 18 = a

, atunci

\log_{24} 16

este egal cu:

\dfrac{4(a-1)}{a+1}

\dfrac{4(2-a)}{5-a}

\dfrac{4a-2}{a+1}

\dfrac{2a-1}{5-a}

Explicație

Notăm

x = \log_2 3

. Atunci: [ \log_{12} 18 = \frac{\log_2 18}{\log_2 12} = \frac{\log_2 (2 \cdot 3^2)}{\log_2 (2^2 \cdot 3)} = \frac{1 + 2\log_2 3}{2 + \log_2 3} = \frac{1+2x}{2+x} ] Dar

\log_{12} 18 = a

, deci

a = \frac{1+2x}{2+x}

. Rezolvăm ecuația în

x

: [ a(2+x) = 1+2x ] [ 2a + ax = 1 + 2x ] [ 2a - 1 = 2x - ax = x(2-a) ] [ x = \frac{2a-1}{2-a} \quad (a \neq 2) ] Acum calculăm

\log_{24} 16

: [ \log_{24} 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2 24} = \frac{4}{\log_2 (2^3 \cdot 3)} = \frac{4}{3 + x} ] Înlocuim expresia lui

x

: [ 3 + x = 3 + \frac{2a-1}{2-a} = \frac{3(2-a) + 2a-1}{2-a} = \frac{6-3a+2a-1}{2-a} = \frac{5-a}{2-a} ] Prin urmare: [ \log_{24} 16 = \frac{4}{\frac{5-a}{2-a}} = \frac{4(2-a)}{5-a} ] Deci răspunsul corect este

\dfrac{4(2-a)}{5-a}

Greu#7

Dacă

\log_{12} 18 = a

, atunci

\log_{24} 16

este egal cu:

\dfrac{8-4a}{5-a}

\dfrac{4a-2}{a+1}

\dfrac{3a-1}{a+2}

\dfrac{5-a}{2-a}

Explicație

Fie

x = \log_2 3

. Atunci

\log_{12} 18 = \frac{\log_2 18}{\log_2 12} = \frac{\log_2 (2 \cdot 3^2)}{\log_2 (2^2 \cdot 3)} = \frac{1 + 2x}{2 + x} = a

. Rezultă

a(2+x) = 1+2x

\Rightarrow

2a + ax = 1+2x

\Rightarrow

2a - 1 = 2x - ax

\Rightarrow

2a - 1 = x(2-a)

\Rightarrow

x = \frac{2a-1}{2-a}

, cu

a \neq 2

. Acum,

\log_{24} 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2 24} = \frac{4}{\log_2 (2^3 \cdot 3)} = \frac{4}{3 + x}

. Înlocuim

x

\log_{24} 16 = \frac{4}{3 + \frac{2a-1}{2-a}} = \frac{4}{\frac{3(2-a) + (2a-1)}{2-a}} = \frac{4}{\frac{6-3a+2a-1}{2-a}} = \frac{4}{\frac{5-a}{2-a}} = \frac{4(2-a)}{5-a} = \frac{8-4a}{5-a}

Greu#8

Fie

x > 0

x \neq 1

. Ecuația

\log_x 3 \cdot \log_{3x} 3 \cdot \log_{9x} 3 = \log_x 3

are soluțiile

x_1

și

x_2

. Produsul

x_1 \cdot x_2

este egal cu:

\frac{1}{27}

27

\frac{1}{9}

9

Explicație

Condiții de existență: $x>0$ , $x\neq 1$ , $3x\neq 1$ ( $x\neq \frac{1}{3}$ ), $9x\neq 1$ ( $x\neq \frac{1}{9}$ ).
Ecuația se scrie: $\log_x 3 \cdot \log_{3x} 3 \cdot \log_{9x} 3 - \log_x 3 = 0$ .
Factor comun: $\log_x 3 \left( \log_{3x} 3 \cdot \log_{9x} 3 - 1 \right) = 0$ .
Cazul I: $\log_x 3 = 0 \Rightarrow x=1$ , dar nu verifică condiția $x\neq 1$ , deci se elimină.
Cazul II: $\log_{3x} 3 \cdot \log_{9x} 3 = 1$ .
Exprimăm logaritmii în baza 3: $\log_{3x} 3 = \frac{1}{\log_3 (3x)} = \frac{1}{1+\log_3 x}$ , $\log_{9x} 3 = \frac{1}{\log_3 (9x)} = \frac{1}{2+\log_3 x}$ .
Notăm $t = \log_3 x$ . Ecuația devine: $\frac{1}{1+t} \cdot \frac{1}{2+t} = 1 \Rightarrow (1+t)(2+t)=1$ .
Rezultă $t^2+3t+2=1 \Rightarrow t^2+3t+1=0$ .
Discriminant: $\Delta = 9-4=5$ , deci $t_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$ .
Soluțiile sunt $x_1=3^{t_1}$ , $x_2=3^{t_2}$ . Produsul: $x_1 \cdot x_2 = 3^{t_1 + t_2} = 3^{-3} = \frac{1}{27}$ .

Greu#9

Dacă

\log_{12} 18 = a

, atunci

\log_{24} 16

este egal cu:

\dfrac{8-4a}{5-a}

\dfrac{5-a}{8-4a}

\dfrac{8-4a}{3-a}

\dfrac{4-4a}{2-a}

Explicație

Fie

b = \log_{12} 2

. Atunci:

$\log_{12} 18 = \log_{12} (2 \cdot 3^2) = \log_{12} 2 + 2\log_{12} 3 = b + 2\log_{12} 3$ .
Exprimăm $\log_{12} 3$ în funcție de $b$ : $\log_{12} 3 = \log_{12} \left(\frac{12}{4}\right) = \log_{12} 12 - \log_{12} 4 = 1 - 2\log_{12} 2 = 1-2b$ .
Înlocuim: $a = b + 2(1-2b) = b + 2 - 4b = 2 - 3b$ , deci $b = \dfrac{2-a}{3}$ .
Calculăm $\log_{24} 16$ folosind schimbarea de bază: $\log_{24} 16 = \dfrac{\log_{12} 16}{\log_{12} 24}$ .
$\log_{12} 16 = \log_{12} 2^4 = 4\log_{12} 2 = 4b$ .
$\log_{12} 24 = \log_{12} (12 \cdot 2) = \log_{12} 12 + \log_{12} 2 = 1 + b$ .
Deci $\log_{24} 16 = \dfrac{4b}{1+b}$ .
Înlocuim $b = \dfrac{2-a}{3}$ : $\log_{24} 16 = \dfrac{4 \cdot \frac{2-a}{3}}{1 + \frac{2-a}{3}} = \dfrac{\frac{8-4a}{3}}{\frac{3+2-a}{3}} = \dfrac{8-4a}{5-a}$ .

Greu#10

Dacă

\log_{12} 18 = a

, atunci

\log_{24} 16

este egal cu:

\frac{4a-2}{a+1}

\frac{4-2a}{5-a}

\frac{4(2-a)}{5-a}

\frac{8-4a}{5+a}

Explicație

Folosim formula schimbării bazei: $\log_{12}18 = \frac{\log 18}{\log 12}$ și $\log_{24}16 = \frac{\log 16}{\log 24}$ .
Exprimăm logaritmii în funcție de $\log 2$ și $\log 3$ : $\log 18 = \log(2 \cdot 3^2) = \log 2 + 2\log 3$ , $\log 12 = \log(2^2 \cdot 3) = 2\log 2 + \log 3$ , $\log 16 = \log 2^4 = 4\log 2$ , $\log 24 = \log(2^3 \cdot 3) = 3\log 2 + \log 3$ .
Notăm $x = \log 2$ , $y = \log 3$ . Atunci $a = \frac{x+2y}{2x+y}$ .
Din $a = \frac{x+2y}{2x+y}$ obținem $a(2x+y) = x+2y \Rightarrow 2ax + ay = x+2y \Rightarrow 2ax - x = 2y - ay \Rightarrow x(2a-1) = y(2-a) \Rightarrow \frac{y}{x} = \frac{2a-1}{2-a}$ (presupunând $x \neq 0$ ).
Calculăm $\log_{24}16 = \frac{4\log 2}{\log 24} = \frac{4x}{3x+y} = \frac{4}{3 + \frac{y}{x}}$ .
Înlocuim $\frac{y}{x}$ : $\log_{24}16 = \frac{4}{3 + \frac{2a-1}{2-a}} = \frac{4}{\frac{3(2-a) + (2a-1)}{2-a}} = \frac{4(2-a)}{6-3a+2a-1} = \frac{4(2-a)}{5-a}$ .
Deci răspunsul este $\frac{4(2-a)}{5-a}$ .

Greu#11

Fie

x_1

și

x_2

soluțiile reale ale ecuației

\log_x 2 + \log_{2x} 2 = \log_{4x} 2

. Atunci

x_1 \cdot x_2

este egal cu:

\frac{1}{8}

\frac{1}{16}

\frac{1}{4}

1

Explicație

Condiții de existență: $x>0$ , $x\neq 1$ , $2x\neq 1$ ( $x\neq \frac{1}{2}$ ), $4x\neq 1$ ( $x\neq \frac{1}{4}$ ).
Folosim formula $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ : $\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}, \quad \log_{2x} 2 = \frac{1}{\log_2(2x)} = \frac{1}{1+\log_2 x}, \quad \log_{4x} 2 = \frac{1}{\log_2(4x)} = \frac{1}{2+\log_2 x}.$
Notăm $t = \log_2 x$ . Ecuația devine: $\frac{1}{t} + \frac{1}{1+t} = \frac{1}{2+t}, \quad t \neq 0,-1,-2.$
Aducem la același numitor: $\frac{(1+t)(2+t) + t(2+t) - t(1+t)}{t(1+t)(2+t)} = 0.$ Numărătorul se simplifică la $t^2 + 4t + 2 = 0$ .
Rezolvăm ecuația de gradul doi: $t = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2} = -2 \pm \sqrt{2}$ .
Atunci $x = 2^t$ , deci soluțiile sunt: $x_1 = 2^{-2+\sqrt{2}}, \quad x_2 = 2^{-2-\sqrt{2}}.$
Produsul lor este: $x_1 \cdot x_2 = 2^{-2+\sqrt{2}} \cdot 2^{-2-\sqrt{2}} = 2^{-4} = \frac{1}{16}.$

Greu#12

Dacă

a = \log_{12} 18

și

b = \log_{24} 54

, atunci valoarea expresiei

ab + 5(a - b)

este:

A) 1

B) -1

C) 0

D) 2

Explicație

Notăm $x = \log_2 3$ . Atunci putem exprima $a$ și $b$ în funcție de $x$ .
$a = \log_{12} 18 = \frac{\log_2 18}{\log_2 12} = \frac{\log_2 (2 \cdot 3^2)}{\log_2 (2^2 \cdot 3)} = \frac{1 + 2x}{2 + x}$ .
$b = \log_{24} 54 = \frac{\log_2 54}{\log_2 24} = \frac{\log_2 (2 \cdot 3^3)}{\log_2 (2^3 \cdot 3)} = \frac{1 + 3x}{3 + x}$ .
Produsul: $ab = \frac{(1+2x)(1+3x)}{(2+x)(3+x)}$ .
Diferența: $a - b = \frac{1+2x}{2+x} - \frac{1+3x}{3+x} = \frac{(1+2x)(3+x) - (1+3x)(2+x)}{(2+x)(3+x)} = \frac{1 - x^2}{(2+x)(3+x)}$ .
$5(a-b) = \frac{5(1-x^2)}{(2+x)(3+x)}$ .
Suma: $ab + 5(a-b) = \frac{1+5x+6x^2 + 5 - 5x^2}{(2+x)(3+x)} = \frac{6+5x+x^2}{x^2+5x+6} = 1$ . Deci expresia are valoarea $1$ .

Și alte 277 grile disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Accesează toate cele 289 probleme de Logaritmi cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.