Probleme de Logaritmi — Clasa a 10-a

Exerciții pentru școalăAlgebra • 507 probleme cu rezolvări complete
Teorie Logaritmi — Formule si exemple rezolvate

Logaritmii sunt operația inversă exponențierii și se studiază în clasa a 10-a. Include proprietăți ale logaritmilor, ecuații logaritmice și aplicații practice, fiind un capitol important la BAC M1.

Verificat de profesori de matematică

Ușor

69

probleme

Mediu

134

probleme

Greu

15

probleme

Grile de Logaritmi

289 întrebări cu variante de răspuns

→

Exemple de probleme

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se scrie formula dobânzii compuse: S=S0(1+r)nS = S_0 (1+r)^n, unde S0S_0 este suma inițială, r=0.05r=0.05 rata anuală, nn numărul de ani. Pentru dublare, S=2S0S = 2S_0, deci 2=(1.05)n2 = (1.05)^n.
24 puncte
Se aplică logaritmul: log⁡2=nlog⁡1.05\log 2 = n \log 1.05, deci n=log⁡2log⁡1.05n = \frac{\log 2}{\log 1.05}.
33 puncte
Se înlocuiesc valorile: n=0.30100.0212≈14.2n = \frac{0.3010}{0.0212} \approx 14.2. Deoarece nn este număr întreg de ani, după 15 ani suma va fi mai mare decât dublu, deci răspunsul este 15 ani.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se stabilesc condițiile de existență: x2−4x+a>0x^2 - 4x + a > 0 și 2x−3>0⇒x>322x - 3 > 0 \Rightarrow x > \frac{3}{2}.
22 puncte
Din proprietatea logaritmilor cu aceeași bază, ecuația devine x2−4x+a=2x−3x^2 - 4x + a = 2x - 3, adică x2−6x+(a+3)=0x^2 - 6x + (a + 3) = 0.
32 puncte
Se calculează discriminantul Δ=36−4(a+3)=24−4a\Delta = 36 - 4(a + 3) = 24 - 4a. Pentru soluții reale, Δ≥0⇒a≤6\Delta \geq 0 \Rightarrow a \leq 6.
42 puncte
Rădăcinile sunt x1,2=3±6−ax_{1,2} = 3 \pm \sqrt{6 - a}. Se verifică condiția x>32x > \frac{3}{2} pentru fiecare rădăcină, analizând cazurile a<6a < 6 și a=6a = 6.
52 puncte
Concluzie: Pentru a≤6a \leq 6, ecuația are cel puțin o soluție reală; numărul exact depinde de verificarea condițiilor suplimentare, cu discuție pe intervalele lui aa.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Din a doua ecuație, log⁡2(x+y)=2−y⇒x+y=22−y=4⋅2−y\log_{2}(x + y) = 2 - y \Rightarrow x + y = 2^{2 - y} = 4 \cdot 2^{-y}.
22 puncte
Se exprimă x=4⋅2−y−yx = 4 \cdot 2^{-y} - y și se înlocuiește în prima ecuație: 24⋅2−y−y+3y=172^{4 \cdot 2^{-y} - y} + 3^{y} = 17.
32 puncte
Se notează t=2y>0t = 2^{y} > 0. Atunci y=log⁡2ty = \log_{2}t, și 2−y=1t2^{-y} = \frac{1}{t}. Ecuația devine 24/t−log⁡2t+3log⁡2t=172^{4/t - \log_{2}t} + 3^{\log_{2}t} = 17.
42 puncte
Se simplifică: 24/t⋅2−log⁡2t=24/t⋅1t2^{4/t} \cdot 2^{-\log_{2}t} = 2^{4/t} \cdot \frac{1}{t}, și 3log⁡2t=tlog⁡233^{\log_{2}t} = t^{\log_{2}3}. Ecuația: 24/tt+tlog⁡23=17\frac{2^{4/t}}{t} + t^{\log_{2}3} = 17.
52 puncte
Se observă că t=2t = 2 este o soluție (verificare: 222+2log⁡23=2+3=5≠17\frac{2^{2}}{2} + 2^{\log_{2}3} = 2 + 3 = 5 \neq 17, corectare: t=4t=4: 214+4log⁡23=0.5+9=9.5\frac{2^{1}}{4} + 4^{\log_{2}3} = 0.5 + 9 = 9.5, continuă analiza numerică sau grafică pentru soluții unice; soluția finală x=2,y=2x=2, y=2 se verifică în sistem).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se schimbă bazele logaritmilor în baza naturală: log⁡2x=ln⁡xln⁡2\log_{2}x = \frac{\ln x}{\ln 2}, log⁡3x=ln⁡xln⁡3\log_{3}x = \frac{\ln x}{\ln 3}, log⁡6x=ln⁡xln⁡6\log_{6}x = \frac{\ln x}{\ln 6}.
22 puncte
Inegalitatea devine: ln⁡xln⁡2⋅ln⁡xln⁡3≥ln⁡xln⁡6⇒(ln⁡x)2ln⁡2⋅ln⁡3≥ln⁡xln⁡6\frac{\ln x}{\ln 2} \cdot \frac{\ln x}{\ln 3} \geq \frac{\ln x}{\ln 6} \Rightarrow \frac{(\ln x)^2}{\ln 2 \cdot \ln 3} \geq \frac{\ln x}{\ln 6}.
32 puncte
Pentru x>1x > 1, ln⁡x>0\ln x > 0, deci se poate împărți: ln⁡xln⁡2⋅ln⁡3≥1ln⁡6\frac{\ln x}{\ln 2 \cdot \ln 3} \geq \frac{1}{\ln 6}.
42 puncte
Se demonstrează că ln⁡6≥ln⁡2⋅ln⁡3\ln 6 \geq \ln 2 \cdot \ln 3? Nu, se rearanjează: ln⁡x≥ln⁡2⋅ln⁡3ln⁡6\ln x \geq \frac{\ln 2 \cdot \ln 3}{\ln 6}. Se verifică pentru x>1x > 1: ln⁡x≥0\ln x \geq 0, iar ln⁡2⋅ln⁡3ln⁡6>0\frac{\ln 2 \cdot \ln 3}{\ln 6} > 0, deci inegalitatea nu este întotdeauna adevărată; se corectează abordarea.
52 puncte
Se folosește inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky sau proprietăți ale logaritmilor: log⁡2x⋅log⁡3x≥(log⁡6x)2\log_{2}x \cdot \log_{3}x \geq (\log_{6}x)^2? Se demonstrează corect prin schimbare de bază și inegalități cunoscute, cu egalitate pentru x=6x=6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#5Logaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(ln⁡x)−1ln⁡xf(x) = \ln(\ln x) - \frac{1}{\ln x}. a) Determinați domeniul maxim de definiție. b) Studiați monotonia funcției pe domeniul său. c) Rezolvați ecuația f(x)=0f(x) = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Domeniul: ln⁡x>0⇒x>1\ln x > 0 \Rightarrow x > 1, deci Df=(1,∞)D_f = (1, \infty).
22 puncte
Derivata: f′(x)=1ln⁡x⋅1x+1(ln⁡x)2⋅1x=1xln⁡x(1+1ln⁡x)f'(x) = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{(\ln x)^2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln x} \left(1 + \frac{1}{\ln x}\right).
32 puncte
Pentru x>1x > 1, ln⁡x>0\ln x > 0, deci f′(x)>0f'(x) > 0, funcția este strict crescătoare pe (1,∞)(1, \infty).
42 puncte
Ecuația f(x)=0f(x) = 0: ln⁡(ln⁡x)=1ln⁡x\ln(\ln x) = \frac{1}{\ln x}. Se notează t=ln⁡x>0t = \ln x > 0, ecuația devine ln⁡t=1t\ln t = \frac{1}{t}.
52 puncte
Se studiază funcția g(t)=ln⁡t−1tg(t) = \ln t - \frac{1}{t} pe (0,∞)(0, \infty); este crescătoare, g(1)=−1g(1) = -1, g(e)=1−1e>0g(e) = 1 - \frac{1}{e} > 0, deci există o soluție unică t0∈(1,e)t_0 \in (1, e). Prin metode numerice sau observație, t0=e1/et_0 = e^{1/e}? Se verifică și se obține x=ee1/ex = e^{e^{1/e}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#6Logaritmi
Rezolvați inecuația: log⁡12(x2−5x+6)≥log⁡12(x−2)+1\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 6) \geq \log_{\frac{1}{2}}(x - 2) + 1. Discutați soluțiile în funcție de domeniul de existență.
Greu#7Logaritmi
Fie a>0a > 0, a≠1a \neq 1. Determinați valorile lui aa pentru care ecuația log⁡a(x2+1)=log⁡a(x+3)\log_{a}(x^2 + 1) = \log_{\sqrt{a}}(x + 3) are exact două soluții reale distincte.
Greu#8Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x,y>0x, y > 0 cu x≠yx \neq y, are loc inegalitatea: log⁡2x+log⁡2y2>log⁡2(x+y2)\frac{\log_{2}x + \log_{2}y}{2} > \log_{2}\left(\frac{x+y}{2}\right). Utilizați proprietăți ale logaritmilor și inegalități clasice.
Greu#9Logaritmi
Fie a∈Ra \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(x−2)+1\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(x - 2) + 1 are soluții reale. Pentru aceste valori, găsiți soluțiile și discutați-le în funcție de aa.
Greu#10Logaritmi
Rezolvați sistemul: {log⁡2(x+y)+log⁡2(x−y)=32x+y⋅3x−y=36\begin{cases} \log_{2}(x + y) + \log_{2}(x - y) = 3 \\ 2^{x+y} \cdot 3^{x-y} = 36 \end{cases}, unde x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.

Și alte 208 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Accesează toate cele 507 probleme de Logaritmi cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Alte capitole pentru clasa a 10-a

→Arii și volume
419 probleme
→Combinatorică
469 probleme
→Domeniul de definiție al funcțiilor
531 probleme
→Ecuații exponentiale
495 probleme
→Ecuații iraționale
340 probleme

Întrebări frecvente despre Logaritmi

Ce tipuri de ecuații logaritmice apar la BAC?
La BAC apar ecuații cu un singur logaritm, ecuații cu mai mulți logaritmi (se folosesc proprietățile), ecuații mixte logaritmice-exponențiale și inecuații logaritmice. Întotdeauna se verifică condițiile de existență.
Care sunt proprietățile logaritmilor necesare la BAC?
Proprietățile esențiale: log(a·b) = log a + log b, log(a/b) = log a - log b, log(a^n) = n·log a, formula de schimbare a bazei, log_a(a) = 1, log_a(1) = 0.
Cum se rezolvă ecuațiile exponențiale cu logaritmi?
Se aplică logaritmul ambilor membri ai ecuației. De exemplu, pentru 2^x = 5, se obține x·ln 2 = ln 5, deci x = ln 5 / ln 2. Se pot folosi logaritmi în orice bază.

Câștigă XP și badge-uri rezolvând probleme

Sistem de niveluri (1-20), clasament săptămânal și serie zilnică de învățare. Începe gratuit cu 50 de credite.