Clasa 10Algebră

Logaritmi — Teorie, Formule si Exemple

Logaritmii sunt unul dintre cele mai importante capitole din programa de clasa a 10-a și un subiect recurent la Bacalaureat Matematica M1. Notația log⁡ax\log_a x reprezintă exponentul la care ridici baza aa ca să obții xx (de exemplu, log⁡28=3\log_2 8 = 3 deoarece 23=82^3 = 8). La BAC, logaritmii apar în aproape fiecare sesiune la Subiectul I — calcule cu proprietăți (lg⁡2+lg⁡5\lg 2 + \lg 5, simplificări), ecuații logaritmice și condiții de existență, fiecare exercițiu valorând 5 puncte. Funcția ln⁡\ln revine și la Subiectul III în cadrul primitivelor și integralelor, ceea ce face acest capitol indispensabil pentru un punctaj bun la BAC. În această lecție vei învăța definiția, proprietățile fundamentale, schimbarea bazei, rezolvarea ecuațiilor logaritmice și comportamentul funcției logaritmice.

Definiția logaritmului și condițiile de existență

Logaritmul lui xx în baza aa este numărul yy care satisface: log⁡ax=y  ⟺  ay=x\log_a x = y \iff a^y = x unde obligatoriu: a>0a > 0, a≠1a \neq 1 și x>0x > 0. Notații standard: lg⁡x\lg x = logaritm zecimal (log⁡10x\log_{10} x), ln⁡x\ln x = logaritm natural (log⁡ex\log_e x, cu e≈2,718e \approx 2{,}718). Două valori imediate din definiție:
  • log⁡a1=0\log_a 1 = 0 (orice bază la puterea 0 dă 1)
  • log⁡aa=1\log_a a = 1 (baza la puterea 1 dă ea însăși)
usorExercițiu de bază
Calculați log⁡232\log_2 32 și lg⁡1000\lg 1000.
1
3 puncte
log⁡232\log_2 32: ne întrebăm "2 la ce putere dă 32?" Cum 25=322^5 = 32, rezultă log⁡232=5\log_2 32 = 5.
2
2 puncte
lg⁡1000=lg⁡103=3\lg 1000 = \lg 10^3 = 3 (direct din definiție, deoarece 103=100010^3 = 1000).
usorExercițiu de bază
Calculați log⁡3181\log_3 \dfrac{1}{81} și ln⁡e5\ln e^5.
1
3 puncte
log⁡3181=log⁡33−4=−4\log_3 \dfrac{1}{81} = \log_3 3^{-4} = -4 (deoarece 3−4=1813^{-4} = \dfrac{1}{81}).
2
2 puncte
ln⁡e5=5\ln e^5 = 5 (din identitatea log⁡aax=x\log_a a^x = x, cu a=ea = e).

Proprietățile produsului, câtului și puterii

Aceste trei proprietăți transformă operațiile din interiorul logaritmului în operații cu logaritmi: log⁡a(x⋅y)=log⁡ax+log⁡ay\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y Produsul din argument devine sumă de logaritmi. log⁡axy=log⁡ax−log⁡ay\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y Câtul din argument devine diferență de logaritmi. log⁡axr=r⋅log⁡ax\log_a x^r = r \cdot \log_a x Exponentul coboară ca factor multiplicativ. Toate trei funcționează doar pentru x,y>0x, y > 0.
usorBac 2024 Iunie, I.1
Arătați că 2lg⁡100+lg⁡2+lg⁡5=52\lg 100 + \lg 2 + \lg 5 = 5.
1
3 puncte
lg⁡100=lg⁡102=2\lg 100 = \lg 10^2 = 2, deci 2lg⁡100=42\lg 100 = 4.
2
2 puncte
lg⁡2+lg⁡5=lg⁡(2⋅5)=lg⁡10=1\lg 2 + \lg 5 = \lg(2 \cdot 5) = \lg 10 = 1 (proprietatea produsului).
3
4+1=54 + 1 = 5. ✓
mediuExercițiu frecvent Bac
Simplificați log⁡354−log⁡32\log_3 54 - \log_3 2.
1
3 puncte
Aplicăm proprietatea câtului: log⁡354−log⁡32=log⁡3542=log⁡327\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 \dfrac{54}{2} = \log_3 27.
2
2 puncte
log⁡327=log⁡333=3\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3 (proprietatea puterii sau direct din definiție).

Schimbarea bazei

Când ai logaritmi în baze diferite în aceeași ecuație, aduci totul la aceeași bază: log⁡ax=lg⁡xlg⁡a=ln⁡xln⁡a\log_a x = \frac{\lg x}{\lg a} = \frac{\ln x}{\ln a} O consecință utilă este inversarea bazei: log⁡ab=1log⁡ba\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a} Identitatea exponențială (logaritmul și exponențiala se anulează reciproc): alog⁡ax=xa^{\log_a x} = x log⁡a(ax)=x\log_a(a^x) = x
mediuTip frecvent Bac
Calculați log⁡48\log_4 8.
1
3 puncte
Schimbăm la baza 2: log⁡48=log⁡28log⁡24=32\log_4 8 = \dfrac{\log_2 8}{\log_2 4} = \dfrac{3}{2}.
2
2 puncte
Verificare: 43/2=(22)3/2=23=84^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8. ✓
mediuExercițiu de antrenament
Arătați că log⁡23⋅log⁡35⋅log⁡58=3\log_2 3 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 8 = 3.
1
3 puncte
Scriem fiecare logaritm prin schimbare de bază (folosind ln⁡\ln): log⁡23=ln⁡3ln⁡2\log_2 3 = \dfrac{\ln 3}{\ln 2}, log⁡35=ln⁡5ln⁡3\log_3 5 = \dfrac{\ln 5}{\ln 3}, log⁡58=ln⁡8ln⁡5\log_5 8 = \dfrac{\ln 8}{\ln 5}.
2
2 puncte
Produsul devine ln⁡3ln⁡2⋅ln⁡5ln⁡3⋅ln⁡8ln⁡5=ln⁡8ln⁡2=log⁡28=3\dfrac{\ln 3}{\ln 2} \cdot \dfrac{\ln 5}{\ln 3} \cdot \dfrac{\ln 8}{\ln 5} = \dfrac{\ln 8}{\ln 2} = \log_2 8 = 3 (se simplifică telescopic). ✓

Rezolvarea ecuațiilor logaritmice simple

Pasul cel mai important la orice ecuație logaritmică: scrie condițiile de existență (C.E.) la început. La Bac, condițiile valorează de obicei 2 puncte din barem. Metoda principală: dacă log⁡aA=log⁡aB\log_a A = \log_a B și ambii logaritmi există, atunci A=BA = B. Algoritmul complet:
  1. Scrie C.E.: fiecare argument > 0
  2. Aduce la aceeași bază folosind proprietățile
  3. Egalează argumentele: A=BA = B
  4. Rezolvă ecuația algebrică rezultată
  5. Verifică soluțiile cu C.E. (elimină soluțiile false)
mediuBac 2024 Model, I.3
Rezolvați ecuația log⁡2(x2+8)=log⁡2(8−2x)\log_2(x^2 + 8) = \log_2(8 - 2x).
1
2 puncte
C.E.: x2+8>0x^2 + 8 > 0 (adevărat mereu) și 8−2x>08 - 2x > 0, deci x<4x < 4.
2
2 puncte
Aceeași bază, deci egalăm argumentele: x2+8=8−2xx^2 + 8 = 8 - 2x.
3
1 punct
x2+2x=0⇒x(x+2)=0⇒x1=0,  x2=−2x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x + 2) = 0 \Rightarrow x_1 = 0,\; x_2 = -2. Ambele satisfac x<4x < 4, deci S={−2,0}S = \{-2, 0\}.
greuExercițiu de antrenament
Rezolvați lg⁡2x−3lg⁡x+2=0\lg^2 x - 3\lg x + 2 = 0.
1
1 punct
C.E.: x>0x > 0. Facem substituția t=lg⁡xt = \lg x.
2
2 puncte
Ecuația devine t2−3t+2=0⇒(t−1)(t−2)=0t^2 - 3t + 2 = 0 \Rightarrow (t-1)(t-2) = 0, deci t1=1t_1 = 1 sau t2=2t_2 = 2.
3
2 puncte
lg⁡x=1⇒x=10\lg x = 1 \Rightarrow x = 10. lg⁡x=2⇒x=100\lg x = 2 \Rightarrow x = 100. Ambele verifică x>0x > 0, deci S={10,100}S = \{10, 100\}.

Funcția logaritmică — grafic, monotonie și inecuații

Funcția f(x)=log⁡axf(x) = \log_a x are:
  • Domeniu: (0,+∞)(0, +\infty)
  • Imagine: R\mathbb{R}
  • Graficul trece prin punctele fixe (1,0)(1, 0) și (a,1)(a, 1)
  • Asimptotă verticală: axa OyOy (adică x=0x = 0) — graficul se apropie de −∞-\infty (dacă a>1a > 1) sau +∞+\infty (dacă 0<a<10 < a < 1) pe măsură ce x→0+x \to 0^+
Monotonie (esențial pentru inecuații):
  • a>1a > 1: funcția este strict crescătoare — log⁡ax1<log⁡ax2  ⟺  x1<x2\log_a x_1 < \log_a x_2 \iff x_1 < x_2 (sensul se păstrează)
  • 0<a<10 < a < 1: funcția este strict descrescătoare — log⁡ax1<log⁡ax2  ⟺  x1>x2\log_a x_1 < \log_a x_2 \iff x_1 > x_2 (sensul se inversează)
Injectivitate: Fiind strict monotonă, funcția logaritmică este injectivă: log⁡ax1=log⁡ax2⇒x1=x2\log_a x_1 = \log_a x_2 \Rightarrow x_1 = x_2. Aceasta este baza metodei de rezolvare a ecuațiilor logaritmice prin egalarea argumentelor.
mediuTip frecvent Bac
Rezolvați inecuația log⁡2(3x−1)>3\log_2(3x - 1) > 3.
1
2 puncte
C.E.: 3x−1>0⇒x>133x - 1 > 0 \Rightarrow x > \dfrac{1}{3}.
2
2 puncte
Baza 2>12 > 1, deci funcția este crescătoare și sensul se păstrează: 3x−1>23=83x - 1 > 2^3 = 8.
3
1 punct
3x>9⇒x>33x > 9 \Rightarrow x > 3. Intersectăm cu C.E. (x>13x > \dfrac{1}{3}): soluția este x∈(3,+∞)x \in (3, +\infty).
mediuExercițiu de antrenament
Rezolvați inecuația log⁡13(2x+1)≥−2\log_{\frac{1}{3}}(2x + 1) \geq -2.
1
2 puncte
C.E.: 2x+1>0⇒x>−122x + 1 > 0 \Rightarrow x > -\dfrac{1}{2}.
2
2 puncte
Baza 13∈(0,1)\dfrac{1}{3} \in (0, 1), deci funcția este descrescătoare și sensul se inversează: 2x+1≤(13)−2=92x + 1 \leq \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2} = 9.
3
1 punct
2x≤8⇒x≤42x \leq 8 \Rightarrow x \leq 4. Intersectăm cu C.E.: soluția este x∈(−12,  4]x \in \left(-\dfrac{1}{2},\; 4\right].

Greșeli frecvente la logaritmi

✗
log⁡a(x+y)=log⁡ax+log⁡ay\log_a(x + y) = \log_a x + \log_a y
✓log⁡a(x⋅y)=log⁡ax+log⁡ay\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y
Suma de logaritmi vine din produsul argumentelor, nu din sumă. Aceasta este cea mai frecventă greșeală la logaritmi.
✗
Nu scriu condițiile de existență
✓Întotdeauna C.E. la început: argument > 0, baza > 0, baza ≠ 1
La Bac, condițiile de existență valorează de obicei 2 puncte. Mulți elevi pierd puncte pentru că sar la calcule.
✗
log⁡axn=(log⁡ax)n\log_a x^n = (\log_a x)^n
✓log⁡axn=n⋅log⁡ax\log_a x^n = n \cdot \log_a x
Exponentul coboară ca factor multiplicativ, nu rămâne exponent pe logaritm.
✗
La bază subunitară, păstrez sensul inegalității
✓Dacă 0<a<10 < a < 1: log⁡ax>log⁡ay  ⟺  x<y\log_a x > \log_a y \iff x < y (sensul se inversează)
Funcția logaritmică cu bază subunitară este descrescătoare. Greșeala de semn la inecuații dă soluția complet greșită.

Logaritmii la examenul de Bac

Logaritmii apar la Subiectul I (materie clasa a 10-a, 5 puncte per exercițiu). Tipuri frecvente: calcule cu proprietăți (lg⁡2+lg⁡5\lg 2 + \lg 5, simplificări), ecuații logaritmice, valori ale expresiilor logaritmice.
Trucuri de calcul rapid: lg⁡2+lg⁡5=1\lg 2 + \lg 5 = 1 (apare aproape în fiecare sesiune). lg⁡5=1−lg⁡2\lg 5 = 1 - \lg 2. lg⁡25=2lg⁡5=2−2lg⁡2\lg 25 = 2\lg 5 = 2 - 2\lg 2. Nu memora valori, folosește proprietăți.
Timp: O ecuație logaritmică la Subiectul I ar trebui rezolvată în 3-5 minute. Dacă durează mai mult, probabil ai ratat o simplificare prin proprietăți.

Toate formulele pe scurt

Definiție
log⁡ax=y  ⟺  ay=x\log_a x = y \iff a^y = x
Condiții: a>0a > 0, a≠1a \neq 1, x>0x > 0.
Produsul
log⁡a(xy)=log⁡ax+log⁡ay\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y
Produsul devine sumă.
Câtul
log⁡axy=log⁡ax−log⁡ay\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y
Câtul devine diferență.
Puterea
log⁡axr=r⋅log⁡ax\log_a x^r = r \cdot \log_a x
Exponentul coboară ca factor.
Radical (caz particular al puterii)
log⁡axn=1n⋅log⁡ax\log_a \sqrt[n]{x} = \dfrac{1}{n} \cdot \log_a x
Deoarece xn=x1/n\sqrt[n]{x} = x^{1/n}.
Schimbare bază
log⁡ax=lg⁡xlg⁡a\log_a x = \dfrac{\lg x}{\lg a}
Funcționează cu orice bază comună.
Inversare bază
log⁡ab=1log⁡ba\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}
Consecință a schimbării de bază.
Identitate
alog⁡ax=xa^{\log_a x} = x
Logaritmul și exponențiala se anulează.

Capitole inrudite

Ecuații LogaritmiceEcuații ExponențialeDomeniul de definiție al funcțiilorPrimitive (integrarea cu ln)

Exerciteaza 218 probleme de Logaritmi

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 289 grile de Logaritmi

Intrebari cu variante de raspuns

→
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.