Grile de Monotonie și convexitate — Clasa a 11-a

306 întrebări cu variante de răspuns • Analiza Matematica

Teorie Monotonie și convexitate — Formule si exemple rezolvate

Probleme de Monotonie și convexitate

391 exerciții cu rezolvare pas cu pas

→
Greu#1
Fie funcția f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x. Alegeți intervalul în care ff este crescătoare și convexă.
A) (−∞,−1)(-\infty, -1)
B) (−1,0)(-1, 0)
C) (0,1)(0, 1)
D) (1,∞)(1, \infty)
E) (−∞,0)(-\infty, 0)
F) (0,∞)(0, \infty)

Explicație

Calculăm f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1). f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x<−1x < -1 sau x>1x > 1, deci ff crescătoare pe (−∞,−1)(-\infty, -1) și (1,∞)(1, \infty). f′′(x)=6xf''(x) = 6x, deci f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>0x > 0, adică ff convexă pe (0,∞)(0, \infty). Intersecția este (1,∞)(1, \infty).
Greu#2
Fie funcția f(x)=2x3−3x2−12x+5f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5. Determinați intervalul în care ff este crescătoare și convexă.
A) (−∞,−1)(-\infty, -1)
B) (−1,0.5)(-1, 0.5)
C) (0.5,2)(0.5, 2)
D) (2,∞)(2, \infty)
E) (−∞,0)(-\infty, 0)
F) (1,∞)(1, \infty)

Explicație

Calculăm f′(x)=6x2−6x−12=6(x−2)(x+1)f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x-2)(x+1). f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x<−1x < -1 sau x>2x > 2, deci crescătoare pe (−∞,−1)(-\infty, -1) și (2,∞)(2, \infty). f′′(x)=12x−6=6(2x−1)f''(x) = 12x - 6 = 6(2x-1), deci f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>0.5x > 0.5, adică convexă pe (0.5,∞)(0.5, \infty). Intersecția este (2,∞)(2, \infty).
Greu#3
Fie funcția f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. Pe care interval este funcția crescătoare și convexă?
A) (0,1)(0,1)
B) (1,2)(1,2)
C) (2,∞)(2,\infty)
D) (−∞,0)(-\infty,0)
E) (0,2)(0,2)
F) (1,∞)(1,\infty)

Explicație

Derivata întâi: f′(x)=3x(x−2)f'(x)=3x(x-2), deci ff este crescătoare pe (−∞,0)(-\infty,0) și (2,∞)(2,\infty). Derivata a doua: f′′(x)=6(x−1)f''(x)=6(x-1), deci ff este convexă pe (1,∞)(1,\infty). Intersecția intervalelor este (2,∞)(2,\infty).
Greu#4
Fie funcția h(x)=x3−3xh(x) = x^3 - 3x. Pe care interval este funcția descrescătoare și convexă?
A) (−∞,−1)(-\infty,-1)
B) (−1,0)(-1,0)
C) (0,1)(0,1)
D) (1,∞)(1,\infty)
E) (−∞,0)(-\infty,0)
F) (−1,1)(-1,1)

Explicație

Derivata întâi: h′(x)=3(x2−1)h'(x)=3(x^2-1), deci hh este descrescătoare pe (−1,1)(-1,1). Derivata a doua: h′′(x)=6xh''(x)=6x, deci hh este convexă pe (0,∞)(0,\infty). Intersecția este (0,1)(0,1).
Mediu#5
Fie funcția f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3. Care dintre următoarele afirmații este adevărată?
A) f este strict crescătoare pe R\mathbb{R} și convexă.
B) f este strict descrescătoare pe (−∞,2)(-\infty, 2) și concavă.
C) f este strict descrescătoare pe (2,∞)(2, \infty) și convexă.
D) f are un minim în x=2x=2 și este convexă.
E) f este strict crescătoare pe (2,∞)(2, \infty) și concavă.
F) f are un maxim în x=2x=2 și este concavă.

Explicație

Derivata întâi: f′(x)=2x−4f'(x)=2x-4. f′(x)=0f'(x)=0 pentru x=2x=2. Pentru x<2x<2, f′(x)<0f'(x)<0, deci f este descrescătoare; pentru x>2x>2, f′(x)>0f'(x)>0, deci f este crescătoare. Așadar, f are un minim în x=2x=2. Derivata a doua: f′′(x)=2>0f''(x)=2>0, deci f este convexă pe R\mathbb{R}.
Greu#6
Pentru funcția f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4, care dintre următoarele descrie corect monotonie și convexitate?
A) f este crescătoare pe (−∞,0)(-\infty,0) și pe (2,∞)(2,\infty), descrescătoare pe (0,2)(0,2), convexă pe (−∞,1)(-\infty,1) și concavă pe (1,∞)(1,\infty).
B) f este descrescătoare pe (−∞,0)(-\infty,0) și pe (2,∞)(2,\infty), crescătoare pe (0,2)(0,2), concavă pe (−∞,1)(-\infty,1) și convexă pe (1,∞)(1,\infty).
C) f este crescătoare pe (−∞,1)(-\infty,1) și descrescătoare pe (1,∞)(1,\infty), convexă pe (−∞,2)(-\infty,2) și concavă pe (2,∞)(2,\infty).
D) f are maxim în x=0x=0 și minim în x=2x=2, este concavă pe (−∞,1)(-\infty,1) și convexă pe (1,∞)(1,\infty).
E) f are minim în x=0x=0 și maxim în x=2x=2, este convexă pe (−∞,1)(-\infty,1) și concavă pe (1,∞)(1,\infty).
F) f este descrescătoare pe întreg domeniul și concavă pe R\mathbb{R}.

Explicație

Derivata întâi: f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2). f′(x)=0f'(x)=0 pentru x=0x=0 și x=2x=2. Studiind semnul, f este crescătoare pe (−∞,0)(-\infty,0), descrescătoare pe (0,2)(0,2), crescătoare pe (2,∞)(2,\infty), deci are maxim în x=0x=0 și minim în x=2x=2. Derivata a doua: f′′(x)=6x−6=6(x−1)f''(x)=6x-6=6(x-1). f′′(x)<0f''(x)<0 pentru x<1x<1 (concavă) și f′′(x)>0f''(x)>0 pentru x>1x>1 (convexă).
Greu#7
Fie funcția f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x. Care dintre următoarele afirmații descrie corect monotonie și convexitatea ei?
A) f este crescătoare pe (−∞,−1)(-\infty, -1) și pe (1,∞)(1, \infty), și convexă pe (−∞,0)(-\infty, 0).
B) f este descrescătoare pe (−1,1)(-1, 1) și concavă pe (0,∞)(0, \infty).
C) f este crescătoare pe (−∞,∞)(-\infty, \infty) și are un punct de inflexiune la x=0.
D) f are intervalele de monotonie: (−∞,−1)(-\infty, -1) descrescător, (−1,1)(-1, 1) crescător, (1,∞)(1, \infty) descrescător.
E) f este convexă pe (−∞,0)(-\infty, 0) și concavă pe (0,∞)(0, \infty).
F) f este crescătoare pe (−∞,−1)∪(1,∞)(-\infty, -1) \cup (1, \infty), descrescătoare pe (−1,1)(-1, 1), convexă pe (0,∞)(0, \infty) și concavă pe (−∞,0)(-\infty, 0).

Explicație

Se calculează f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1). f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x<−1x < -1 sau x>1x > 1 (crescătoare) și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru −1<x<1-1 < x < 1 (descrescătoare). f′′(x)=6xf''(x) = 6x, f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>0x > 0 (convexă) și f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x<0x < 0 (concavă). Astfel, afirmația F este corectă.
Mediu#8
Pentru funcția f(x)=x4f(x) = x^4, care afirmație este adevărată privind monotonie și convexitatea?
A) f este crescătoare pe R\mathbb{R} și convexă pe R\mathbb{R}.
B) f este descrescătoare pe (−∞,0)(-\infty, 0) și crescătoare pe (0,∞)(0, \infty), și convexă pe R\mathbb{R}.
C) f este crescătoare pe R\mathbb{R} și concavă pe R\mathbb{R}.
D) f are un punct de minim la x=0 și este concavă pe (−∞,0)(-\infty, 0).
E) f este descrescătoare pe R\mathbb{R} și convexă pe R\mathbb{R}.
F) f este crescătoare pe (0,∞)(0, \infty), descrescătoare pe (−∞,0)(-\infty, 0), și are un punct de inflexiune la x=0.

Explicație

Derivata întâi: f′(x)=4x3f'(x) = 4x^3. f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x<0x < 0 (descrescătoare) și f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x>0x > 0 (crescătoare). Derivata a doua: f′′(x)=12x2≥0f''(x) = 12x^2 \geq 0 pentru orice xx, deci funcția este convexă pe R\mathbb{R}.
Greu#9
Fie funcția f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2. Care dintre următoarele intervale este pe care funcția este descrescătoare și convexă?
A) (−∞,0)(-\infty, 0)
B) (0,1)(0,1)
C) (1,2)(1,2)
D) (2,∞)(2,\infty)
E) (−1,0)(-1,0)
F) (0,2)(0,2)

Explicație

Calculăm f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x și f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6. Funcția este descrescătoare când f′(x)<0f'(x) < 0, adică pe (0,2)(0,2), și convexă când f′′(x)>0f''(x) > 0, adică pe (1,∞)(1,\infty). Intersecția este (1,2)(1,2), deci răspunsul corect este C.
Greu#10
Fie funcția g(x)=x3−6x2+9xg(x) = x^3 - 6x^2 + 9x. Pe care interval este funcția descrescătoare și convexă?
A) (0,1)(0,1)
B) (1,2)(1,2)
C) (2,3)(2,3)
D) (3,4)(3,4)
E) (−∞,0)(-\infty,0)
F) (4,∞)(4,\infty)

Explicație

Derivata g′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)g'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3) arată că funcția este descrescătoare pe (1,3)(1,3). Derivata a doua g′′(x)=6x−12=6(x−2)g''(x) = 6x - 12 = 6(x-2) indică convexitate pe (2,∞)(2,\infty). Intersecția este (2,3)(2,3), deci răspunsul corect este C.
Greu#11
Pentru funcția f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2, determinați intervalul în care funcția este crescătoare și convexă.
A) (−∞,0)(-\infty, 0)
B) (0,1)(0, 1)
C) (1,2)(1, 2)
D) (2,∞)(2, \infty)
E) (0,2)(0, 2)
F) (−∞,1)(-\infty, 1)

Explicație

Funcția este crescătoare unde f′(x)>0f'(x) > 0. f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2), deci f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x<0x < 0 sau x>2x > 2. Funcția este convexă unde f′′(x)>0f''(x) > 0. f′′(x)=6x−6=6(x−1)f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1), deci f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>1x > 1. Intersecția condițiilor dă x>2x > 2, deci intervalul (2,∞)(2, \infty).
Greu#12
Pentru funcția f(x)=x4−4x3f(x) = x^4 - 4x^3, determinați intervalul în care funcția este descrescătoare și concavă.
A) (−∞,0)(-\infty, 0)
B) (0,2)(0, 2)
C) (2,3)(2, 3)
D) (3,∞)(3, \infty)
E) (0,3)(0, 3)
F) (−∞,2)(-\infty, 2)

Explicație

Funcția este descrescătoare unde f′(x)<0f'(x) < 0. f′(x)=4x3−12x2=4x2(x−3)f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x-3), deci f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x<3x < 3 (cu excepția punctelor unde se anulează). Funcția este concavă unde f′′(x)<0f''(x) < 0. f′′(x)=12x2−24x=12x(x−2)f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x-2), deci f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru 0<x<20 < x < 2. Intersecția dă intervalul (0,2)(0, 2).

Și alte 294 grile disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Accesează toate cele 306 probleme de Monotonie și convexitate cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.