Clasa 11Analiză

Monotonie și convexitate — Teorie, Formule si Exemple

Monotonia și convexitatea sunt concepte fundamentale din programa de clasa a 11-a, Matematică M1, care transformă derivatele în informații concrete despre forma graficului unei funcții. Prima derivată arată unde funcția crește sau scade și unde are extreme locale, iar derivata a doua indică curbura graficului (convex sau concav) și punctele de inflexiune. La Bacalaureat, monotonia și convexitatea apar la Subiectul III în fiecare sesiune (de regulă punctele a și b, valorând 10 puncte din 15) și sunt esențiale pentru construirea tabelului de variație și trasarea graficului funcției. Stăpânirea acestor noțiuni îți asigură punctaj sigur la Bac și este obligatorie pentru studiul complet al funcțiilor.

Criteriul de monotonie prin semnul primei derivate

Criteriul de monotonie: Fie

f

derivabilă pe intervalul

I

$f'(x) > 0$ pentru orice $x \in I$ $\Rightarrow$ $f$ este strict crescătoare pe $I$
$f'(x) < 0$ pentru orice $x \in I$ $\Rightarrow$ $f$ este strict descrescătoare pe $I$
$f'(x) = 0$ pentru orice $x \in I$ $\Rightarrow$ $f$ este constantă pe $I$

Observație importantă: Dacă

f'(x) \geq 0

I

și

f'

se anulează doar în puncte izolate (nu pe un întreg subinterval), atunci

f

este tot strict crescătoare pe

I

. Exemplu:

f(x) = x^3

f'(0) = 0

, dar

f

este strict crescătoare pe

\mathbb{R}

. Algoritmul pentru determinarea monotoniei:

Calculează $f'(x)$
Rezolvă ecuația $f'(x) = 0$ (găsești punctele critice)
Studiază semnul lui $f'$ pe fiecare interval dintre zerouri (tabel de semn)
Concluzionează intervalele de creștere și descreștere

mediuTip Bac Subiectul III, punctul a

Determinați intervalele de monotonie ale funcției

f(x) = x^3 - 3x

2 puncte

f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1) = 3(x-1)(x+1)

3 puncte

f'(x) = 0 \Rightarrow x = -1

x = 1

. Semnul lui

f'

+

(-\infty,-1)

-

(-1,1)

+

(1,+\infty)

2 puncte

f

este strict crescătoare pe

(-\infty,-1)

și pe

(1,+\infty)

, strict descrescătoare pe

(-1,1)

mediuTip Bac Subiectul III, punctul a

Determinați intervalele de monotonie ale funcției

f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) = (x^2 - 4x)e^x

3 puncte

Derivăm cu regula produsului:

f'(x) = (2x - 4)e^x + (x^2 - 4x)e^x = e^x(x^2 - 2x - 4)

3 puncte

Deoarece

e^x > 0

, semnul lui

f'

este dat de

x^2 - 2x - 4 = 0

\Delta = 4 + 16 = 20

, deci

x_{1,2} = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}

4 puncte

f'(x) > 0

(-\infty, 1 - \sqrt{5})

și

(1 + \sqrt{5}, +\infty)

f'(x) < 0

(1 - \sqrt{5},\, 1 + \sqrt{5})

. Deci

f

este strict crescătoare pe

(-\infty, 1 - \sqrt{5})

și pe

(1 + \sqrt{5}, +\infty)

, strict descrescătoare pe

(1 - \sqrt{5},\, 1 + \sqrt{5})

Puncte de extrem local — condiții necesare și suficiente

Punct critic:

x_0

f'(x_0) = 0

(sau

f'

nu există în

x_0

, dar

f

este continuă). Condiție necesară (Fermat): Dacă

f

are extrem local în

x_0

și

f

este derivabilă în

x_0

, atunci

f'(x_0) = 0

. Criteriul I — schimbarea semnului primei derivate (suficient):

$f'$ trece de la $+$ la $-$ în $x_0$ $\Rightarrow$ maxim local în $x_0$
$f'$ trece de la $-$ la $+$ în $x_0$ $\Rightarrow$ minim local în $x_0$
$f'$ nu schimbă semnul în $x_0$ $\Rightarrow$ nu este extrem (poate fi punct de inflexiune)

Criteriul II — derivata a doua (suficient, mai rapid când $f''$ se calculează ușor):

$f'(x_0) = 0$ și $f''(x_0) < 0$ $\Rightarrow$ maxim local
$f'(x_0) = 0$ și $f''(x_0) > 0$ $\Rightarrow$ minim local
$f'(x_0) = 0$ și $f''(x_0) = 0$ $\Rightarrow$ test neconcludent (revino la Criteriul I)

Valoarea extremului: Nu uita să calculezi

f(x_0)

— la Bac se cere adesea valoarea extremului, nu doar abscisa punctului!

mediuTip Bac Subiectul III, punctul a

Găsiți extremele locale ale funcției

f(x) = x^3 - 3x

1 punct

Din secțiunea precedentă:

f'(x) = 3(x-1)(x+1)

, cu zerourile

x = -1

și

x = 1

3 puncte

În

x = -1

f'

trece de la

+

-

\Rightarrow

maxim local.

f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2

3 puncte

În

x = 1

f'

trece de la

-

+

\Rightarrow

minim local.

f(1) = 1 - 3 = -2

mediuTip Bac Subiectul III, punctul a

Determinați extremele locale ale funcției

f(x) = x^2 e^{-x}

f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}

3 puncte

f'(x) = 2xe^{-x} + x^2(-e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2) = xe^{-x}(2 - x)

3 puncte

f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0

x = 2

(deoarece

e^{-x} > 0

). Semnul lui

f'

-

(-\infty, 0)

+

(0, 2)

-

(2, +\infty)

4 puncte

În

x = 0

f'

trece de la

-

+

\Rightarrow

minim local,

f(0) = 0

. În

x = 2

f'

trece de la

+

-

\Rightarrow

maxim local,

f(2) = 4e^{-2}

Convexitate, concavitate și puncte de inflexiune

Criteriul de convexitate: Fie

f

de două ori derivabilă pe intervalul

I

$f''(x) > 0$ pe $I$ $\Rightarrow$ $f$ este convexă (grafic cu concavitatea în sus, forma de „cupă" $\cup$ ) pe $I$
$f''(x) < 0$ pe $I$ $\Rightarrow$ $f$ este concavă (grafic cu concavitatea în jos, forma de „boltă" $\cap$ ) pe $I$

Terminologie (atenție la convenție!): Convex = gura în sus (

\cup

f'' > 0

). Concav = gura în jos (

\cap

f'' < 0

). Unele manuale folosesc convenția inversă — la Bac se folosește convenția de mai sus. Punct de inflexiune:

x_0

unde

f''

schimbă semnul. Condiție necesară:

f''(x_0) = 0

(sau

f''

nu există în

x_0

). Condiție suficientă:

f''

schimbă efectiv semnul în

x_0

. Algoritmul pentru studiul convexității:

Calculează $f''(x)$
Rezolvă ecuația $f''(x) = 0$
Studiază semnul lui $f''$ pe fiecare interval
Identifică punctele de inflexiune (unde semnul lui $f''$ se schimbă)
Calculează coordonatele punctelor de inflexiune: $(x_0, f(x_0))$

mediuTip Bac Subiectul III, punctul b

Determinați intervalele de convexitate/concavitate și punctele de inflexiune ale lui

f(x) = x^3 - 3x

2 puncte

f'(x) = 3x^2 - 3

, deci

f''(x) = 6x

2 puncte

f''(x) = 0 \Rightarrow x = 0

. Semnul lui

f''

-

(-\infty, 0)

+

(0, +\infty)

3 puncte

f

este concavă pe

(-\infty, 0)

și convexă pe

(0, +\infty)

. Deoarece

f''

schimbă semnul în

x=0

, punctul

(0, f(0)) = (0, 0)

este punct de inflexiune.

greuTip Bac Subiectul III, punctul b

Studiați convexitatea și determinați punctele de inflexiune pentru

f(x) = x^4 - 6x^2 + 8x + 1

3 puncte

f'(x) = 4x^3 - 12x + 8

, deci

f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x^2 - 1) = 12(x-1)(x+1)

3 puncte

f''(x) = 0 \Rightarrow x = -1

x = 1

. Semnul lui

f''

+

(-\infty, -1)

-

(-1, 1)

+

(1, +\infty)

4 puncte

f

este convexă pe

(-\infty, -1)

și

(1, +\infty)

, concavă pe

(-1, 1)

. Puncte de inflexiune:

(-1, f(-1)) = (-1, -6)

și

(1, f(1)) = (1, 4)

, deoarece

f''

schimbă semnul în ambele puncte.

Construirea tabelului de variație complet

Tabelul de variație sintetizează toată informația despre monotonie, extreme, convexitate și inflexiuni. Este instrumentul central la Subiectul III al examenului de Bacalaureat.

undefined

greuTip Bac Subiectul III complet

Realizați tabelul de variație complet pentru

f(x) = xe^{-x}

3 puncte

f'(x) = e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1-x)

f'(x) = 0 \Rightarrow x = 1

(deoarece

e^{-x} > 0

pentru orice

x

3 puncte

f''(x) = -e^{-x}(1-x) + e^{-x}(-1) = e^{-x}(x-2)

f''(x) = 0 \Rightarrow x = 2

4 puncte

Tabel:

f' > 0

(-\infty,1)

f' < 0

(1,+\infty)

— maxim local în

x=1

f(1)=e^{-1}

f'' < 0

(-\infty,2)

f'' > 0

(2,+\infty)

— punct de inflexiune în

x=2

f(2)=2e^{-2}

greuTip Bac Subiectul III complet

Realizați tabelul de variație complet pentru

f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}

3 puncte

f'(x) = \dfrac{(x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}

f'(x) = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1

4 puncte

f''(x) = \dfrac{-2x(x^2+1)^2 - (1-x^2) \cdot 2(x^2+1) \cdot 2x}{(x^2+1)^4} = \dfrac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}

f''(x) = 0 \Rightarrow x = 0

x = \pm\sqrt{3}

3 puncte

Monotonie:

f' > 0

(-1, 1)

f' < 0

(-\infty, -1)

și

(1, +\infty)

. Minim local în

x=-1

f(-1) = -\frac{1}{2}

. Maxim local în

x=1

f(1) = \frac{1}{2}

. Inflexiuni în

x \in \{-\sqrt{3},\, 0,\, \sqrt{3}\}

Greșeli frecvente la monotonie și convexitate

✗

f'(x_0) = 0 \Rightarrow x_0

este punct de extrem local

✓

f'(x_0) = 0

este doar o condiție necesară, nu suficientă. Trebuie verificat că

f'

schimbă semnul în

x_0

Contra-exemplu:

f(x) = x^3

f'(0) = 0

dar

x = 0

nu este extrem —

f'(x) = 3x^2 \geq 0

nu schimbă semnul.

✗

f''(x_0) = 0 \Rightarrow x_0

este punct de inflexiune

✓Punctul de inflexiune cere ca

f''

să schimbe semnul în

x_0

, nu doar să se anuleze.

Contra-exemplu:

f(x) = x^4

f''(0) = 0

dar

f''(x) = 12x^2 \geq 0

, deci

x = 0

este minim, nu inflexiune.

✗

Confundarea convexității cu concavitatea

✓Convex

= f'' > 0 =

gura în sus (

\cup

). Concav

= f'' < 0 =

gura în jos (

\cap

Memotehnic: „Convex = Cupă" (ambele încep cu C-u). Sau:

f'' > 0

înseamnă panta crește, deci graficul se curbează în sus.

✗

Găsesc abscisa extremului dar uit să calculez valoarea

f(x_0)

✓La Bac se cere întotdeauna și valoarea extremului. Răspunsul complet: „maxim local în

x_0 = 1

, valoarea maximului:

f(1) = 2

Același lucru pentru punctele de inflexiune — se cer coordonatele complete

(x_0, f(x_0))

✗

Scriu „

f

crescătoare pe

(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)

" cu reuniune

✓Monotonia se enunță separat pe fiecare interval: „

f

crescătoare pe

(-\infty, -1)

și pe

(1, +\infty)

Reuniunea a două intervale nu este interval — o funcție crescătoare pe

A \cup B

nu are sens matematic strict. La Bac se punctează doar formularea corectă.

Strategii pentru Subiectul III la Bacalaureat

Algoritmul complet la Bac (în ordine): (1) Domeniu de definiție. (2) Calculează

f'(x)

— rezolvă

f'(x) = 0

— tabel de semn — intervalele de monotonie — extremele locale cu valori. (3) Calculează

f''(x)

— rezolvă

f''(x) = 0

— tabel de semn — intervalele de convexitate/concavitate — punctele de inflexiune cu coordonate. (4) Construiește tabelul de variație complet. Urmând acești pași sistematic, nu pierzi niciun punct.

Criteriul II pentru extreme (economie de timp): Dacă ai găsit

x_0

f'(x_0) = 0

și

f''

este ușor de evaluat, calculează direct

f''(x_0)

. Dacă

f''(x_0) > 0

: minim local. Dacă

f''(x_0) < 0

: maxim local. Eviți să mai faci tabelul de semn al lui

f'

Verificare rapidă a semnului derivatei: Pentru

f'(x) = e^x \cdot g(x)

, semnul este dat doar de

g(x)

(deoarece

e^x > 0

mereu). La fel,

(x^2 + 1)^n > 0

mereu. Identifică factorii strict pozitivi și elimină-i din analiza semnului.

Funcții raționale — nu uita domeniul: Dacă

f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}

, domeniul exclude zerourile numitorului. Monotonia și convexitatea se studiază separat pe fiecare interval din domeniu, nu global.

Punctele de inflexiune necesită coordonate complete: La Bac, răspunsul „punct de inflexiune în

x = 2

" este incomplet. Scrie întotdeauna: „punct de inflexiune în

(2, f(2)) = (2, 2e^{-2})

Formule esențiale pentru monotonie și convexitate

Funcție strict crescătoare

f'(x) > 0

I

\Rightarrow

f

strict crescătoare pe

I

Și reciproc: dacă

f

este strict crescătoare și derivabilă, atunci

f'(x) \geq 0

I

Funcție strict descrescătoare

f'(x) < 0

I

\Rightarrow

f

strict descrescătoare pe

I

Schimbarea monotoniei are loc în punctele critice (zerourile sau punctele de nedefinire ale lui

f'

Maxim local (Criteriul I)

f'(x_0)=0

și

f'

trece de la

+

-

\Rightarrow

maxim local în

x_0

Alternativ, Criteriul II:

f'(x_0)=0

și

f''(x_0) < 0

Minim local (Criteriul I)

f'(x_0)=0

și

f'

trece de la

-

+

\Rightarrow

minim local în

x_0

Alternativ, Criteriul II:

f'(x_0)=0

și

f''(x_0) > 0

Funcție convexă

f''(x) > 0

I

\Rightarrow

f

convexă (

\cup

) pe

I

Graficul are forma de cupă — panta funcției crește.

Funcție concavă

f''(x) < 0

I

\Rightarrow

f

concavă (

\cap

) pe

I

Graficul are forma de boltă — panta funcției scade.

Punct de inflexiune

f''

schimbă semnul în

x_0

\Rightarrow

(x_0, f(x_0))

este punct de inflexiune

Condiție necesară:

f''(x_0) = 0

(sau

f''

nu există). Condiție suficientă: schimbarea efectivă a semnului.

Capitole inrudite

Derivate Aplicații ale derivatelor Studiul funcțiilor Asimptote

Exerciteaza 391 probleme de Monotonie și convexitate

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 306 grile de Monotonie și convexitate

Intrebari cu variante de raspuns

→

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.