Probleme de Monotonie și convexitate — Clasa a 11-a

Pregătire BAC M1Analiza Matematica • 697 probleme cu rezolvări complete
Teorie Monotonie și convexitate — Formule si exemple rezolvate

Monotonia și convexitatea funcțiilor se determină folosind derivatele de ordinul I și II. Include analiza semnului derivatei și punctele de inflexiune.

Verificat de profesori de matematică

Ușor

67

probleme

Mediu

324

probleme

Grile de Monotonie și convexitate

306 întrebări cu variante de răspuns

→

Exemple de probleme

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Calculați derivata: y' = -\big((x-2)^2 + 2x(x-2)\) = -(x-2)(3x-2) și determinați punctele critice x=2x=2 și x=23x=\frac{2}{3}.
26 puncte
Studiați semnul lui y′y' pe intervalele determinate de punctele critice și concluzionați: yy este descrescătoare pe (−∞,23)(-\infty,\frac{2}{3}), crescătoare pe (23,2)(\frac{2}{3},2) și descrescătoare pe (2,∞)(2,\infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați derivata y′=6x2+6x=6x(x+1)y'=6x^2+6x=6x(x+1).
23 puncte
Găsiți punctele critice rezolvând y′=0⇒x=0,  x=−1y'=0\Rightarrow x=0,\;x=-1.
33 puncte
Determinați semnul lui y′y' pe intervale: pentru x<−1x<-1 avem y′>0y'>0, pentru −1<x<0-1<x<0 avem y′<0y'<0, pentru x>0x>0 avem y′>0y'>0.
42 puncte
Concluzionați intervalele de creștere (−∞,−1)(-\infty,-1) și (0,∞)(0,\infty) și intervalul de descreștere (−1,0)(-1,0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați derivata y′=2x2−2x−4=2(x−2)(x+1)y'=2x^2-2x-4=2(x-2)(x+1).
23 puncte
Găsiți punctele critice rezolvând y′=0⇒x=2,  x=−1y'=0\Rightarrow x=2,\;x=-1.
33 puncte
Determinați semnul lui y′y' pe intervale: pentru x<−1x<-1 avem y′>0y'>0, pentru −1<x<2-1<x<2 avem y′<0y'<0, pentru x>2x>2 avem y′>0y'>0; puteți verifica natura extremelor și cu y′′(x)=4x−2y''(x)=4x-2.
42 puncte
Concluzionați: maxim local la x=−1x=-1 cu y(−1)=223y(-1)=\frac{22}{3}, minim local la x=2x=2 cu y(2)=−53y(2)=-\frac{5}{3}; intervale de creștere (−∞,−1)(-\infty,-1) și (2,∞)(2,\infty), descreștere (−1,2)(-1,2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați derivata y′=4x3−12x2−16x=4x(x2−3x−4)=4x(x−4)(x+1)y'=4x^3-12x^2-16x=4x(x^2-3x-4)=4x(x-4)(x+1) și determinați punctele critice x=−1,0,4x=-1,0,4.
24 puncte
Analizați semnul lui y′y' pe intervale: pentru x<−1x<-1 y′<0y'<0 (descrescătoare), pentru −1<x<0-1<x<0 y′>0y'>0 (crescătoare), pentru 0<x<40<x<4 y′<0y'<0 (descrescătoare), pentru x>4x>4 y′>0y'>0 (crescătoare). Concluzionați natura extremelor după semnul lui y′y'.
33 puncte
Calculați valorile funcției în punctele critice: y(−1)=0y(-1)=0, y(0)=3y(0)=3, y(4)=−125y(4)=-125. Astfel: puncte de minim local (−1,0)(-1,0) și (4,−125)(4,-125), punct de maxim local (0,3)(0,3); intervalele de monotonicitate sunt (−∞,−1)(-\infty,-1) descrescătoare, (−1,0)(-1,0) crescătoare, (0,4)(0,4) descrescătoare, (4,∞)(4,\infty) crescătoare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = 4x4−2x2+34x^4 - 2x^2 + 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați derivata y′=16x3−4x=4x(4x2−1)=4x(2x−1)(2x+1)y'=16x^3-4x=4x(4x^2-1)=4x(2x-1)(2x+1) și determinați punctele critice x=−12,0,12x=-\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{2}.
24 puncte
Analizați semnul lui y′y' pe intervale: pentru x<−12x<-\tfrac{1}{2} y′<0y'<0 (descrescătoare), pentru −12<x<0-\tfrac{1}{2}<x<0 y′>0y'>0 (crescătoare), pentru 0<x<120<x<\tfrac{1}{2} y′<0y'<0 (descrescătoare), pentru x>12x>\tfrac{1}{2} y′>0y'>0 (crescătoare). Determinați natura extremelor după semnul lui y′y'.
33 puncte
Calculați valorile funcției în punctele critice: y(±12)=114y(\pm\tfrac{1}{2})=\tfrac{11}{4}, y(0)=3y(0)=3. Astfel: puncte de minim local (−12,114)(-\tfrac{1}{2},\tfrac{11}{4}) și (12,114)(\tfrac{1}{2},\tfrac{11}{4}), punct de maxim local (0,3)(0,3); intervalele de monotonicitate sunt (−∞,−12)(-\infty,-\tfrac{1}{2}) descrescătoare, (−12,0)(-\tfrac{1}{2},0) crescătoare, (0,12)(0,\tfrac{1}{2}) descrescătoare, (12,∞)(\tfrac{1}{2},\infty) crescătoare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției f(x)=(x−2)(8−x)x2f(x)=\frac{(x-2)(8-x)}{x^2}.
Mediu#7Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de monotonicitate și extremele funcției f(x) = x−125x2−13x3x - \frac{12}{5}x^2 - \frac{1}{3}x^3 și construiți graficul acesteia.
Mediu#8Monotonie și convexitateDerivateAsimptote
Investigați comportamentul funcției y = 8(x3+x)/(2x−1)38(x^3 + x)/(2x - 1)^3 și construiți graficul. Câte rădăcini are ecuația 8(x3+x)/(2x−1)3=c8(x^3 + x)/(2x - 1)^3 = c?
Mediu#9Monotonie și convexitateDerivateAsimptote
Investigați comportamentul funcției y = 8(x3+x)/(2x+1)38(x^3 + x)/(2x + 1)^3 și construiți graficul. Câte rădăcini are ecuația 8(x3+x)/(2x+1)3=c8(x^3 + x)/(2x + 1)^3 = c?
Mediu#10Monotonie și convexitateAplicații ale derivatelorEcuații exponentiale
Fie funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=ex−x−1f(x) = e^x - x - 1. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. b) Demonstrați că pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, ex≥x+1e^x \geq x + 1, cu egalitate doar pentru x=0x=0. c) Folosind punctul b), determinați condițiile pe parametrii reali aa și bb astfel încât ecuația ex=ax+be^x = ax + b să aibă o soluție unică.

Și alte 381 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Accesează toate cele 697 probleme de Monotonie și convexitate cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Alte capitole pentru clasa a 11-a

→Aplicații ale derivatelor
536 probleme
→Asimptote
401 probleme
→Continuitate
399 probleme
→Derivate
497 probleme
→Determinanți
564 probleme

Câștigă XP și badge-uri rezolvând probleme

Sistem de niveluri (1-20), clasament săptămânal și serie zilnică de învățare. Începe gratuit cu 50 de credite.