Grile de Proprietăți ale integralelor — Clasa a 12-a

262 întrebări cu variante de răspuns • Analiza Matematica

Teorie Proprietăți ale integralelor — Formule si exemple rezolvate

Probleme de Proprietăți ale integralelor

98 exerciții cu rezolvare pas cu pas

→
Mediu#1
Fie ff și gg funcții integrabile pe [0,1][0,1] astfel încât ∫01f(x)dx=2\int_0^1 f(x) dx = 2 și ∫01g(x)dx=3\int_0^1 g(x) dx = 3. Calculați ∫01(2f(x)+3g(x))dx\int_0^1 (2f(x) + 3g(x)) dx.
A) 13
B) 5
C) 6
D) 7
E) 11
F) 15

Explicație

Folosind proprietatea de liniaritate a integralei, ∫01(2f(x)+3g(x))dx=2∫01f(x)dx+3∫01g(x)dx=2⋅2+3⋅3=4+9=13\int_0^1 (2f(x) + 3g(x)) dx = 2\int_0^1 f(x) dx + 3\int_0^1 g(x) dx = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 4 + 9 = 13.
Mediu#2
Dacă ∫02f(x)dx=4\int_0^2 f(x) dx = 4 și ∫25f(x)dx=6\int_2^5 f(x) dx = 6, atunci ∫05f(x)dx\int_0^5 f(x) dx este egal cu:
A) 10
B) 2
C) 24
D) -2
E) 0
F) 8

Explicație

Conform proprietății de aditivitate a integralei pe intervale, ∫05f(x)dx=∫02f(x)dx+∫25f(x)dx=4+6=10\int_0^5 f(x) dx = \int_0^2 f(x) dx + \int_2^5 f(x) dx = 4 + 6 = 10.
Mediu#3
Dacă ∫02f(x) dx=3\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 3 și ∫02g(x) dx=4\int_{0}^{2} g(x) \, dx = 4, atunci ∫02[2f(x)−g(x)] dx\int_{0}^{2} [2f(x) - g(x)] \, dx este egal cu:
A) 22
B) 77
C) 11
D) 55
E) 66
F) 1010

Explicație

Folosind liniaritatea integralei, ∫02[2f(x)−g(x)] dx=2∫02f(x) dx−∫02g(x) dx=2⋅3−4=6−4=2\int_{0}^{2} [2f(x) - g(x)] \, dx = 2\int_{0}^{2} f(x) \, dx - \int_{0}^{2} g(x) \, dx = 2 \cdot 3 - 4 = 6 - 4 = 2.
Mediu#4
Calculați ∫13f(x) dx\int_{1}^{3} f(x) \, dx, știind că ∫12f(x) dx=5\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 5 și ∫23f(x) dx=3\int_{2}^{3} f(x) \, dx = 3.
A) 88
B) 22
C) 1515
D) 1.51.5
E) 77
F) 44

Explicație

Conform proprietății de aditivitate a integralei pe intervale, ∫13f(x) dx=∫12f(x) dx+∫23f(x) dx=5+3=8\int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{3} f(x) \, dx = 5 + 3 = 8.
Mediu#5
Fie ∫02f(x)dx=3\int_0^2 f(x) dx = 3 și ∫02g(x)dx=5\int_0^2 g(x) dx = 5. Calculați ∫02[2f(x)−3g(x)]dx\int_0^2 [2f(x) - 3g(x)] dx.
A) -9
B) 1
C) 11
D) -1
E) 21
F) -15

Explicație

Folosind liniaritatea integralei, ∫02[2f(x)−3g(x)]dx=2∫02f(x)dx−3∫02g(x)dx=2⋅3−3⋅5=6−15=−9\int_0^2 [2f(x) - 3g(x)] dx = 2\int_0^2 f(x) dx - 3\int_0^2 g(x) dx = 2 \cdot 3 - 3 \cdot 5 = 6 - 15 = -9.
Mediu#6
Dacă ∫13f(x)dx=4\int_1^3 f(x) dx = 4 și ∫35f(x)dx=6\int_3^5 f(x) dx = 6, calculați ∫15f(x)dx\int_1^5 f(x) dx.
A) 10
B) 2
C) 24
D) -2
E) 5
F) 1.5

Explicație

Conform proprietății de aditivitate a integralei definite, ∫15f(x)dx=∫13f(x)dx+∫35f(x)dx=4+6=10\int_1^5 f(x) dx = \int_1^3 f(x) dx + \int_3^5 f(x) dx = 4 + 6 = 10.
Mediu#7
Dacă ∫13f(x)dx=5\int_{1}^{3} f(x) dx = 5 și ∫13g(x)dx=3\int_{1}^{3} g(x) dx = 3, calculați ∫13(2f(x)−3g(x))dx\int_{1}^{3} (2f(x) - 3g(x)) dx.
A) 1
B) 2
C) 8
D) 7
E) -9
F) 10

Explicație

Folosind proprietatea de liniaritate a integralei, ∫ab(kf(x)+lg(x))dx=k∫abf(x)dx+l∫abg(x)dx\int_{a}^{b} (k f(x) + l g(x)) dx = k \int_{a}^{b} f(x) dx + l \int_{a}^{b} g(x) dx. În acest caz, ∫13(2f(x)−3g(x))dx=2⋅5−3⋅3=10−9=1\int_{1}^{3} (2f(x) - 3g(x)) dx = 2 \cdot 5 - 3 \cdot 3 = 10 - 9 = 1.
Mediu#8
Se cunosc ∫02h(x)dx=4\int_{0}^{2} h(x) dx = 4 și ∫25h(x)dx=6\int_{2}^{5} h(x) dx = 6. Determinați ∫05h(x)dx\int_{0}^{5} h(x) dx.
A) 10
B) -2
C) 24
D) 2
E) 6
F) 4

Explicație

Folosind proprietatea de aditivitate a integralei pe intervale, ∫acf(x)dx=∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx, pentru a<b<ca < b < c. Așadar, ∫05h(x)dx=∫02h(x)dx+∫25h(x)dx=4+6=10\int_{0}^{5} h(x) dx = \int_{0}^{2} h(x) dx + \int_{2}^{5} h(x) dx = 4 + 6 = 10.
Ușor#9
Calculați integrala definită ∫02(3x+5) dx\int_{0}^{2} (3x + 5) \, dx.
A) 16
B) 11
C) 8
D) 14
E) 10
F) 12

Explicație

Se aplică proprietatea de liniaritate: ∫02(3x+5) dx=3∫02x dx+5∫021 dx=3⋅x22∣02+5x∣02=3⋅2+5⋅2=6+10=16\int_{0}^{2} (3x + 5) \, dx = 3 \int_{0}^{2} x \, dx + 5 \int_{0}^{2} 1 \, dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} \big|_0^2 + 5x \big|_0^2 = 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2 = 6 + 10 = 16.
Greu#10
Dacă ∫13f(x) dx=4\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 4, calculați ∫31f(x) dx\int_{3}^{1} f(x) \, dx.
A) -4
B) 4
C) 0
D) 1
E) -3
F) 3

Explicație

Folosind proprietatea ∫abf(x) dx=−∫baf(x) dx\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx, avem ∫31f(x) dx=−∫13f(x) dx=−4\int_{3}^{1} f(x) \, dx = -\int_{1}^{3} f(x) \, dx = -4.
Ușor#11
Calculați ∫01(3x2+2x) dx\int_{0}^{1} (3x^2 + 2x) \, dx.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 0
E) 52\frac{5}{2}
F) 32\frac{3}{2}

Explicație

Se aplică proprietatea de liniaritate a integralei: ∫01(3x2+2x) dx=3∫01x2 dx+2∫01x dx\int_{0}^{1} (3x^2 + 2x) \, dx = 3 \int_{0}^{1} x^2 \, dx + 2 \int_{0}^{1} x \, dx. Calculăm: ∫01x2 dx=[x33]01=13\int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} și ∫01x dx=[x22]01=12\int_{0}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}. Atunci 3⋅13+2⋅12=1+1=23 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 + 1 = 2.
Ușor#12
Dacă ∫02f(x) dx=3\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 3 și ∫24f(x) dx=5\int_{2}^{4} f(x) \, dx = 5, atunci calculați ∫04f(x) dx\int_{0}^{4} f(x) \, dx.
A) 2
B) 8
C) 15
D) -2
E) 7
F) 3

Explicație

Folosind proprietatea de aditivitate a integralei pe intervale, avem ∫04f(x) dx=∫02f(x) dx+∫24f(x) dx=3+5=8\int_{0}^{4} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 3 + 5 = 8.

Și alte 250 grile disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Accesează toate cele 262 probleme de Proprietăți ale integralelor cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.