Probleme de Proprietăți ale integralelor — Clasa a 12-a

Pregătire BAC M1Analiza Matematica • 360 probleme cu rezolvări complete
Teorie Proprietăți ale integralelor — Formule si exemple rezolvate

Proprietățile integralelor includ liniaritatea, aditivitatea față de interval și inegalități integrale. Permit simplificarea calculelor complexe de integrale.

Verificat de profesori de matematică

Ușor

36

probleme

Mediu

62

probleme

Grile de Proprietăți ale integralelor

262 întrebări cu variante de răspuns

→

Exemple de probleme

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se verifică că funcțiile f(x)=x3cos⁡xf(x) = x^3 \cos x și g(x)=xsin⁡xg(x) = x \sin x sunt impare, adică f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) și g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x).
24 puncte
Se folosește proprietatea că integrala unei funcții impare pe un interval simetric [−a,a][-a,a] este zero, deci ∫−aaf(x) dx=0\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0 și ∫−aag(x) dx=0\int_{-a}^{a} g(x) \, dx = 0.
33 puncte
Prin aditivitatea și liniaritatea integralei, ∫−aa[f(x)+g(x)] dx=∫−aaf(x) dx+∫−aag(x) dx=0+0=0\int_{-a}^{a} [f(x) + g(x)] \, dx = \int_{-a}^{a} f(x) \, dx + \int_{-a}^{a} g(x) \, dx = 0 + 0 = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se rezolvă ecuația f(x)=0f(x)=0, adică x2−5x+6=0x^2 -5x+6=0, obținând rădăcinile x=2x=2 și x=3x=3.
23 puncte
Se observă că pe intervalul [2,3][2,3], f(x)≤0f(x) \leq 0, iar pe [3,4][3,4], f(x)≥0f(x) \geq 0, deci aria este ∫24∣f(x)∣ dx=∫23−f(x) dx+∫34f(x) dx\int_{2}^{4} |f(x)| \, dx = \int_{2}^{3} -f(x) \, dx + \int_{3}^{4} f(x) \, dx, folosind proprietatea de aditivitate a integralelor și definiția valorii absolute.
34 puncte
Se calculează integralele: ∫23−(x2−5x+6) dx=∫23(−x2+5x−6) dx=[−x33+5x22−6x]23=16\int_{2}^{3} -(x^2 -5x+6) \, dx = \int_{2}^{3} (-x^2 +5x -6) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} -6x \right]_{2}^{3} = \frac{1}{6} și ∫34(x2−5x+6) dx=[x33−5x22+6x]34=16\int_{3}^{4} (x^2 -5x+6) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} +6x \right]_{3}^{4} = \frac{1}{6}, apoi se adună rezultatele, obținând aria totală 13\frac{1}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Aplicăm proprietatea de aditivitate a integralei definite: ∫02f(x)dx=∫01f(x)dx+∫12f(x)dx=3+5=8\int_{0}^{2} f(x) dx = \int_{0}^{1} f(x) dx + \int_{1}^{2} f(x) dx = 3 + 5 = 8.
23 puncte
Aplicăm proprietatea de liniaritate: ∫02[2f(x)+1]dx=2∫02f(x)dx+∫021dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx = 2\int_{0}^{2} f(x) dx + \int_{0}^{2} 1 dx.
32 puncte
Calculăm ∫021dx=[x]02=2\int_{0}^{2} 1 dx = [x]_{0}^{2} = 2.
42 puncte
Înlocuim și obținem: 2×8+2=182 \times 8 + 2 = 18.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Notăm I=∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdxI = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx.
23 puncte
Folosim proprietatea ∫0af(x)dx=∫0af(a−x)dx\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx: I=∫0π(π−x)sin⁡(π−x)1+cos⁡2(π−x)dx=∫0π(π−x)sin⁡x1+cos⁡2xdxI = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin(\pi - x)}{1 + \cos^2(\pi - x)} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{1 + \cos^2 x} dx, deoarece sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x și cos⁡(π−x)=−cos⁡x\cos(\pi - x) = -\cos x, deci cos⁡2(π−x)=cos⁡2x\cos^2(\pi - x) = \cos^2 x.
32 puncte
Adunăm cele două expresii pentru I: 2I=∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx+∫0π(π−x)sin⁡x1+cos⁡2xdx=∫0ππsin⁡x1+cos⁡2xdx2I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx + \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi \sin x}{1 + \cos^2 x} dx.
43 puncte
Calculăm J=∫0πsin⁡x1+cos⁡2xdxJ = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx prin substituția u=cos⁡xu = \cos x, du=−sin⁡xdxdu = -\sin x dx: J=∫1−1−du1+u2=∫−11du1+u2=[arctan⁡u]−11=π4−(−π4)=π2J = \int_{1}^{-1} \frac{-du}{1+u^2} = \int_{-1}^{1} \frac{du}{1+u^2} = [\arctan u]_{-1}^{1} = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}.
51 punct
Obținem 2I=π×π2=π222I = \pi \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}, deci I=π24I = \frac{\pi^2}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Proprietăți ale integralelorPolinoameSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Știind că ∫−11f(x) dx=2\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 2, ∫02f(x) dx=10\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 10 și ∫13f(x) dx=26\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 26, determinați coeficienții aa, bb și cc.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Exprimă integralele definite folosind o primitivă a lui ff. O primitivă este F(x)=x44+ax33+bx22+cxF(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{a x^3}{3} + \frac{b x^2}{2} + c x. Atunci ∫−11f(x)dx=F(1)−F(−1)=(14+a3+b2+c)−(14−a3+b2−c)=2a3+2c\int_{-1}^{1} f(x) dx = F(1)-F(-1) = \left(\frac{1}{4}+\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c\right) - \left(\frac{1}{4}-\frac{a}{3}+\frac{b}{2}-c\right) = \frac{2a}{3}+2c.
23 puncte
Scrie celelalte două integrale: ∫02f(x)dx=F(2)−F(0)=(4+8a3+2b+2c)−0=4+8a3+2b+2c\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2)-F(0) = \left(4+\frac{8a}{3}+2b+2c\right) - 0 = 4+\frac{8a}{3}+2b+2c și ∫13f(x)dx=F(3)−F(1)=(814+9a+9b2+3c)−(14+a3+b2+c)=20+26a3+4b+2c\int_{1}^{3} f(x) dx = F(3)-F(1) = \left(\frac{81}{4}+9a+\frac{9b}{2}+3c\right) - \left(\frac{1}{4}+\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c\right) = 20 + \frac{26a}{3}+4b+2c.
32 puncte
Formează sistemul de ecuații folosind condițiile date: 2a3+2c=2\frac{2a}{3}+2c=2, 4+8a3+2b+2c=104+\frac{8a}{3}+2b+2c=10, 20+26a3+4b+2c=2620+\frac{26a}{3}+4b+2c=26. Simplifică: 2a3+2c=2\frac{2a}{3}+2c=2 (1), 8a3+2b+2c=6\frac{8a}{3}+2b+2c=6 (2), 26a3+4b+2c=6\frac{26a}{3}+4b+2c=6 (3).
42 puncte
Rezolvă sistemul. Din (1): a3+c=1⇒c=1−a3\frac{a}{3}+c=1 \Rightarrow c=1-\frac{a}{3}. Înlocuiește în (2): 8a3+2b+2(1−a3)=6⇒8a3+2b+2−2a3=6⇒2a+2b=4⇒a+b=2\frac{8a}{3}+2b+2\left(1-\frac{a}{3}\right)=6 \Rightarrow \frac{8a}{3}+2b+2-\frac{2a}{3}=6 \Rightarrow 2a+2b=4 \Rightarrow a+b=2. Înlocuiește în (3): 26a3+4b+2(1−a3)=6⇒26a3+4b+2−2a3=6⇒8a+4b=4⇒2a+b=1\frac{26a}{3}+4b+2\left(1-\frac{a}{3}\right)=6 \Rightarrow \frac{26a}{3}+4b+2-\frac{2a}{3}=6 \Rightarrow 8a+4b=4 \Rightarrow 2a+b=1. Sistemul devine a+b=2a+b=2 și 2a+b=12a+b=1. Scăzând, obținem a=−1a=-1, apoi b=3b=3, iar din c=1−a3c=1-\frac{a}{3} rezultă c=1+13=43c=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Proprietăți ale integralelorTrigonometriePrimitive
Fie f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} o funcție continuă astfel încât ∫0πf(x) dx=5\int_{0}^{\pi} f(x) \, dx = 5 și ∫0πxf(sin⁡x) dx=5π2\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \, dx = \frac{5\pi}{2}. Calculați ∫0πxπf(sin⁡x) dx\int_{0}^{\pi} \frac{x}{\pi} f(\sin x) \, dx.
Ușor#7Proprietăți ale integralelorIntegrale definiteStudiul funcțiilor
Fie funcția f:[0,2]→Rf: [0,2] \to \mathbb{R}, f(x)={x2,daca˘ x∈[0,1]2−x,daca˘ x∈(1,2]f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{dacă } x \in [0,1] \\ 2-x, & \text{dacă } x \in (1,2] \end{cases}. Calculați ∫02f(x) dx\int_0^2 f(x) \, dx.
Mediu#8Proprietăți ale integralelorIntegrale definitePrimitive
Arătați că pentru orice funcție continuă f:[a,b]→Rf: [a,b] \to \mathbb{R} cu f(x)≥0f(x) \geq 0, are loc inegalitatea (∫abf(x) dx)2≤(b−a)∫ab[f(x)]2 dx\left( \int_a^b f(x) \, dx \right)^2 \leq (b-a) \int_a^b [f(x)]^2 \, dx. Aplicați această inegalitate pentru f(x)=xf(x)=x pe intervalul [0,1][0,1] și verificați-o.
Mediu#9Proprietăți ale integralelorIntegrale definiteArii și volume
Se consideră funcția f:[0,2]→Rf:[0,2] \to \mathbb{R}, f(x)=x2−1f(x)=x^2 - 1. Calculați ∫02∣f(x)∣ dx\int_{0}^{2} |f(x)| \, dx folosind proprietăți ale integralelor definite.
Ușor#10Proprietăți ale integralelorIntegrale definitePrimitive
Fie funcția f:[−2,2]→Rf:[-2,2] \to \mathbb{R}, definită prin f(x)={x+1,daca˘ x∈[−2,0)x2,daca˘ x∈[0,2]f(x) = \begin{cases} x+1, & \text{dacă } x \in [-2,0) \\ x^2, & \text{dacă } x \in [0,2] \end{cases}. Calculați ∫−22f(x) dx\int_{-2}^{2} f(x) \, dx folosind proprietăți ale integralelor definite.

Și alte 88 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Accesează toate cele 360 probleme de Proprietăți ale integralelor cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Alte capitole pentru clasa a 12-a

→Grupuri
579 probleme
→Inele și corpuri
486 probleme
→Integrale definite
598 probleme
→Legi de compoziție
641 probleme
→Matematică aplicată
653 probleme

Câștigă XP și badge-uri rezolvând probleme

Sistem de niveluri (1-20), clasament săptămânal și serie zilnică de învățare. Începe gratuit cu 50 de credite.