Clasa 12Analiză

Proprietăți ale integralelor — Teorie, Formule si Exemple

Proprietățile integralelor permit simplificarea calculelor, estimarea valorilor și demonstrarea inegalităților fără a calcula efectiv primitiva — instrumente esențiale din programa de Matematica M1, clasa a 12-a. La examenul de Bacalaureat, aceste proprietăți apar la Subiectul III sub forma cerințelor „demonstrați că ∫abf(x) dx≥0\int_a^b f(x)\,dx \geq 0" sau „estimați valoarea integralei". Proprietățile de simetrie (funcții pare/impare), monotonie și teorema valorii medii pot aduce puncte decisive chiar când calculul direct este dificil.

Proprietăți algebrice — linearitate, aditivitate și inversarea capetelor

Aceste proprietăți se folosesc pentru a descompune sau simplifica integrale: Linearitate (suma): ∫ab[f(x)+g(x)] dx=∫abf(x) dx+∫abg(x) dx\int_a^b [f(x) + g(x)]\, dx = \int_a^b f(x)\, dx + \int_a^b g(x)\, dx Linearitate (constanta): ∫abk⋅f(x) dx=k∫abf(x) dx\int_a^b k \cdot f(x)\, dx = k \int_a^b f(x)\, dx Aditivitate pe interval: ∫abf(x) dx=∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx\int_a^b f(x)\, dx = \int_a^c f(x)\, dx + \int_c^b f(x)\, dx Valabil pentru orice cc, nu neapărat c∈[a,b]c \in [a,b]. Inversarea capetelor: ∫abf dx=−∫baf dx\int_a^b f\, dx = -\int_b^a f\, dx Interval degenerat: ∫aaf dx=0\int_a^a f\, dx = 0
usorExercițiu de aplicare directă
Știind că ∫02f(x) dx=5\int_0^2 f(x)\,dx = 5 și ∫02g(x) dx=3\int_0^2 g(x)\,dx = 3, calculați ∫02[2f(x)−g(x)] dx\int_0^2 [2f(x) - g(x)]\,dx.
1
2 puncte
Aplicăm linearitatea: ∫02[2f(x)−g(x)] dx=2∫02f(x) dx−∫02g(x) dx\int_0^2 [2f(x) - g(x)]\,dx = 2\int_0^2 f(x)\,dx - \int_0^2 g(x)\,dx.
2
3 puncte
=2⋅5−3=10−3=7= 2 \cdot 5 - 3 = 10 - 3 = 7.
mediuTip Bac — aditivitate
Știind că ∫03f(x) dx=7\int_0^3 f(x)\,dx = 7 și ∫01f(x) dx=2\int_0^1 f(x)\,dx = 2, calculați ∫13f(x) dx\int_1^3 f(x)\,dx.
1
3 puncte
Aplicăm aditivitatea pe interval: ∫03f(x) dx=∫01f(x) dx+∫13f(x) dx\int_0^3 f(x)\,dx = \int_0^1 f(x)\,dx + \int_1^3 f(x)\,dx.
2
2 puncte
Rezultă ∫13f(x) dx=∫03f(x) dx−∫01f(x) dx=7−2=5\int_1^3 f(x)\,dx = \int_0^3 f(x)\,dx - \int_0^1 f(x)\,dx = 7 - 2 = 5.

Inegalități cu integrale — monotonie, estimare și inegalitatea triunghiului

Monotonie: Daca˘ f(x)≤g(x) pe [a,b], atunci ∫abf(x) dx≤∫abg(x) dx\text{Dacă } f(x) \leq g(x) \text{ pe } [a,b], \text{ atunci } \int_a^b f(x)\, dx \leq \int_a^b g(x)\, dx Pozitivitate (caz particular față de funcția zero): Daca˘ f(x)≥0 pe [a,b], atunci ∫abf(x) dx≥0\text{Dacă } f(x) \geq 0 \text{ pe } [a,b], \text{ atunci } \int_a^b f(x)\, dx \geq 0 Estimare prin minim-maxim: m(b−a)≤∫abf(x) dx≤M(b−a)m(b-a) \leq \int_a^b f(x)\, dx \leq M(b-a) unde m=min⁡[a,b]fm = \min_{[a,b]} f și M=max⁡[a,b]fM = \max_{[a,b]} f. Inegalitatea triunghiului: ∣∫abf(x) dx∣≤∫ab∣f(x)∣ dx\left|\int_a^b f(x)\, dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|\, dx
mediuTip frecvent Bac
Arătați că ∫01e−x2 dx>1e\int_0^1 e^{-x^2}\, dx > \dfrac{1}{e}.
1
3 puncte
Pe [0,1][0,1]: x2≤1x^2 \leq 1, deci −x2≥−1-x^2 \geq -1, deci e−x2≥e−1=1ee^{-x^2} \geq e^{-1} = \dfrac{1}{e}.
2
2 puncte
Prin monotonie: ∫01e−x2 dx≥∫011e dx=1e\int_0^1 e^{-x^2}\, dx \geq \int_0^1 \dfrac{1}{e}\, dx = \dfrac{1}{e}. Inegalitatea este strictă deoarece e−x2>1ee^{-x^2} > \dfrac{1}{e} pentru x∈[0,1)x \in [0,1).
mediuEstimare prin minim-maxim
Estimați ∫1211+x2 dx\int_1^2 \dfrac{1}{1+x^2}\, dx folosind proprietatea de estimare prin minim și maxim.
1
3 puncte
Fie f(x)=11+x2f(x) = \dfrac{1}{1+x^2}, care este descrescătoare pe [1,2][1,2]. Deci m=f(2)=15m = f(2) = \dfrac{1}{5} și M=f(1)=12M = f(1) = \dfrac{1}{2}.
2
2 puncte
Prin estimare: 15(2−1)≤∫1211+x2 dx≤12(2−1)\dfrac{1}{5}(2-1) \leq \int_1^2 \dfrac{1}{1+x^2}\, dx \leq \dfrac{1}{2}(2-1), adică 15≤∫1211+x2 dx≤12\dfrac{1}{5} \leq \int_1^2 \dfrac{1}{1+x^2}\, dx \leq \dfrac{1}{2}.

Proprietăți de simetrie (funcții pare și impare)

Funcție pară (f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)) pe interval simetric [−a,a][-a, a]: ∫−aaf(x) dx=2∫0af(x) dx\int_{-a}^a f(x)\, dx = 2\int_0^a f(x)\, dx Graficul este simetric față de OyOy, deci aria pe [−a,0][-a,0] egal cu cea pe [0,a][0,a]. Funcție impară (f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)) pe interval simetric [−a,a][-a, a]: ∫−aaf(x) dx=0\int_{-a}^a f(x)\, dx = 0 Graficul este simetric față de origine; ariile se anulează. Cum verifici paritatea: Calculezi f(−x)f(-x) și compari cu f(x)f(x) și −f(x)-f(x).
usorExercițiu model
Calculați ∫−22(x3+x) dx\int_{-2}^{2} (x^3 + x)\, dx folosind proprietatea funcțiilor impare.
1
2 puncte
f(x)=x3+xf(x) = x^3 + x. Verificare: f(−x)=−x3−x=−(x3+x)=−f(x)f(-x) = -x^3 - x = -(x^3+x) = -f(x). Funcția este impară.
2
3 puncte
Intervalul [−2,2][-2,2] este simetric față de origine. Prin proprietate: ∫−22f(x) dx=0\int_{-2}^{2} f(x)\, dx = 0.
usorExercițiu model
Calculați ∫−11(x4+2) dx\int_{-1}^{1} (x^4 + 2)\, dx folosind proprietatea funcțiilor pare.
1
2 puncte
f(x)=x4+2f(x) = x^4 + 2. Verificare: f(−x)=(−x)4+2=x4+2=f(x)f(-x) = (-x)^4 + 2 = x^4 + 2 = f(x). Funcția este pară.
2
3 puncte
∫−11(x4+2) dx=2∫01(x4+2) dx=2[x55+2x]01=2(15+2)=225\int_{-1}^{1} (x^4+2)\, dx = 2\int_0^1 (x^4+2)\, dx = 2\left[\dfrac{x^5}{5}+2x\right]_0^1 = 2\left(\dfrac{1}{5}+2\right) = \dfrac{22}{5}.

Funcția integrală, teorema fundamentală a calculului și teorema valorii medii

Funcția integrală F:[a,b]→RF: [a,b] \to \mathbb{R} definită prin: F(x)=∫axf(t) dtF(x) = \int_a^x f(t)\, dt Teorema fundamentală a calculului (Partea I): Dacă ff este continuă pe [a,b][a,b], atunci FF este derivabilă și F′(x)=f(x)F'(x) = f(x). Consecință cu regula lanțului: Daca˘ G(x)=∫ag(x)f(t) dt, atunci G′(x)=f(g(x))⋅g′(x)\text{Dacă } G(x) = \int_a^{g(x)} f(t)\, dt, \text{ atunci } G'(x) = f(g(x)) \cdot g'(x) Teorema valorii medii pentru integrale: ∃ c∈[a,b]:f(c)=1b−a∫abf(x) dx\exists\, c \in [a,b]: f(c) = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\, dx Există un punct unde funcția ia valoarea sa medie pe interval.
greuProblemă de antrenament
Fie F(x)=∫0xt1+t2 dtF(x) = \int_0^x \dfrac{t}{1+t^2}\, dt. Calculați F′(x)F'(x) și găsiți punctele de extrem ale lui FF.
1
2 puncte
Prin teorema fundamentală: F′(x)=x1+x2F'(x) = \dfrac{x}{1+x^2}.
2
3 puncte
F′(x)=0⇔x=0F'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0. Semn: F′(x)<0F'(x) < 0 pentru x<0x < 0, F′(x)>0F'(x) > 0 pentru x>0x > 0.
3
FF are minim local în x=0x = 0, cu F(0)=0F(0) = 0. Funcția este strict descrescătoare pe (−∞,0)(-\infty, 0) și strict crescătoare pe (0,+∞)(0, +\infty).
mediuAplicare — teorema valorii medii
Fie f:[0,2]→Rf: [0,2] \to \mathbb{R}, f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1, continuă. Aplicați teorema valorii medii pentru integrale și determinați valoarea c∈[0,2]c \in [0,2].
1
2 puncte
Calculăm integrala: ∫02(x2+1) dx=[x33+x]02=83+2=143\int_0^2 (x^2+1)\, dx = \left[\dfrac{x^3}{3}+x\right]_0^2 = \dfrac{8}{3}+2 = \dfrac{14}{3}.
2
3 puncte
Valoarea medie: 12−0⋅143=73\dfrac{1}{2-0}\cdot\dfrac{14}{3} = \dfrac{7}{3}. Căutăm cc cu f(c)=73f(c) = \dfrac{7}{3}: c2+1=73⇒c2=43⇒c=23=233∈[0,2]c^2 + 1 = \dfrac{7}{3} \Rightarrow c^2 = \dfrac{4}{3} \Rightarrow c = \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \in [0,2].

Greșeli frecvente

✗
∫−11x2 dx=0\int_{-1}^1 x^2\, dx = 0 (confund cu funcția impară)
✓∫−11x2 dx=2∫01x2 dx=23\int_{-1}^1 x^2\, dx = 2\int_0^1 x^2\, dx = \dfrac{2}{3}
Funcțiile PARE dau dublul integralei pe [0,a][0,a]. Funcțiile IMPARE dau zero. x2x^2 este pară, nu impară.
✗
Nu verific că f(x)≥0f(x) \geq 0 pe întreg intervalul înainte de a scrie ∫f dx≥0\int f\, dx \geq 0
✓Demonstrez că f(x)≥0f(x) \geq 0 pe tot [a,b][a,b] înainte de a aplica proprietatea de pozitivitate
Dacă funcția schimbă semnul, nu poți aplica proprietatea direct. Trebuie să descompui sau să folosești modulul.
✗
∣∫abf dx∣=∫ab∣f∣ dx\left|\int_a^b f\, dx\right| = \int_a^b |f|\, dx
✓∣∫abf dx∣≤∫ab∣f∣ dx\left|\int_a^b f\, dx\right| \leq \int_a^b |f|\, dx (inegalitate strictă în general)
Modulul integralei este CEL MULT integrala modulului, nu egal. Egalitatea are loc când ff nu schimbă semnul.
✗
Confund teorema valorii medii pentru derivate cu cea pentru integrale
✓Pentru integrale: f(c)=1b−a∫abf(x) dxf(c) = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx — valoarea medie a funcției
Sunt două teoreme diferite. Cea pentru derivate (Lagrange) dă f′(c)=f(b)−f(a)b−af'(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}.
✗
Aplic estimarea m(b−a)≤∫abf dx≤M(b−a)m(b-a) \leq \int_a^b f\,dx \leq M(b-a) cu mm și MM greșite
✓mm și MM sunt minimul și maximul funcției ff pe [a,b][a,b], nu valorile f(a)f(a) și f(b)f(b)
Minimul și maximul se găsesc studiind monotonia lui ff pe [a,b][a,b] (prin derivată). Dacă ff este crescătoare, atunci m=f(a)m = f(a) și M=f(b)M = f(b), dar în general trebuie verificat.

Proprietățile integralelor la examenul de Bac

Când recunoști proprietatea de paritate: Dacă intervalul de integrare este [−a,a][-a, a] și funcția conține doar puteri ale lui xx, verifică imediat paritatea. Salvezi 5 minute de calcul.
Pentru demonstrarea inegalităților: Pasul cheie este să găsești o funcție mai simplă care majorează sau minorează integranda pe intervalul dat. Cel mai des se folosește valoarea minimă sau maximă a funcției (din monotonie).
Proprietatea de aditivitate: Esențială când funcția este definită prin cazuri sau conține ∣x∣|x|. Descompune integrala în punctele de schimb al expresiei.
Teorema valorii medii la Subiectul III: Când cerința spune „arătați că există c∈[a,b]c \in [a,b] cu f(c)=...f(c) = ...", gândește-te imediat la teorema valorii medii pentru integrale. Scrie formula f(c)=1b−a∫abf(x) dxf(c) = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx, calculează integrala, și identifică valoarea cerută.

Formulele esențiale pentru proprietățile integralelor

Linearitate
∫ab[αf+βg] dx=α∫abf dx+β∫abg dx\int_a^b [\alpha f + \beta g]\, dx = \alpha \int_a^b f\, dx + \beta \int_a^b g\, dx
Constante și sumă se tratează separat.
Aditivitate
∫abf dx=∫acf dx+∫cbf dx\int_a^b f\, dx = \int_a^c f\, dx + \int_c^b f\, dx
Valabil pentru orice cc.
Monotonie
f≤gf \leq g pe [a,b]⇒∫abf dx≤∫abg dx[a,b] \Rightarrow \int_a^b f\, dx \leq \int_a^b g\, dx
Funcție mai mică, integrală mai mică.
Estimare
m(b−a)≤∫abf dx≤M(b−a)m(b-a) \leq \int_a^b f\, dx \leq M(b-a)
mm și MM sunt minimul și maximul lui ff pe [a,b][a,b].
Inegalitatea triunghiului
∣∫abf dx∣≤∫ab∣f∣ dx\left|\int_a^b f\, dx\right| \leq \int_a^b |f|\, dx
Modulul integralei ≤\leq integrala modulului.
Funcție pară
∫−aaf dx=2∫0af dx\int_{-a}^a f\, dx = 2\int_0^a f\, dx
f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) — grafic simetric față de OyOy.
Funcție impară
∫−aaf dx=0\int_{-a}^a f\, dx = 0
f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) — ariile se anulează.
Teorema fundamentală
(∫axf(t) dt)′=f(x)\left(\int_a^x f(t)\, dt\right)' = f(x)
Funcția integrală se derivează anulând integrala.
Teorema valorii medii
∃ c∈[a,b]:  f(c)=1b−a∫abf(x) dx\exists\, c \in [a,b]:\; f(c) = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\, dx
Funcția continuă ia valoarea sa medie pe interval.

Capitole inrudite

PrimitiveIntegrale definiteDerivateMonotonie și convexitate

Exerciteaza 98 probleme de Proprietăți ale integralelor

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 262 grile de Proprietăți ale integralelor

Intrebari cu variante de raspuns

→
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.