MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiIdentități algebriceSisteme de Ecuații Liniare
Fie determinantul D=∣111abca2b2c2∣D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}. a) Arătați că D=(a−b)(b−c)(c−a)D = (a-b)(b-c)(c-a). b) Utilizați acest fapt pentru a determina soluțiile sistemului: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2x + b^2y + c^2z = d^2 \end{cases}, unde a,b,c,d∈Ra, b, c, d \in \mathbb{R} și a,b,ca, b, c sunt distincte două câte două.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează determinantul DD prin scăderea liniei 1 din liniile 2 și 3, obținând ∣111a−1b−1c−1a2−1b2−1c2−1∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a-1 & b-1 & c-1 \\ a^2-1 & b^2-1 & c^2-1 \end{vmatrix}, apoi se factorizează a−1=(a−1)a-1 = (a-1), b−1=(b−1)b-1 = (b-1), etc., și se reduce la (a−b)(b−c)(c−a)(a-b)(b-c)(c-a).
23 puncte
Se demonstrează identitatea D=(a−b)(b−c)(c−a)D = (a-b)(b-c)(c-a) folosind proprietăți ale determinanților Vandermonde sau prin calcul direct cu factorizare.
34 puncte
Sistemul are matricea coeficienților cu determinantul D≠0D \neq 0 dacă a,b,ca, b, c sunt distincte. Aplicând regula lui Cramer, se exprimă x,y,zx, y, z ca raport de determinanți, obținând soluțiile unice: x=∣111dbcd2b2c2∣Dx = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ d & b & c \\ d^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}}{D}, y=∣111adca2d2c2∣Dy = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & d & c \\ a^2 & d^2 & c^2 \end{vmatrix}}{D}, z=∣111abda2b2d2∣Dz = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & d \\ a^2 & b^2 & d^2 \end{vmatrix}}{D}, care se simplifică folosind proprietăți similare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.