Probleme de Determinanți — Clasa a 11-a

Pregătire BAC M1Algebra • 564 probleme cu rezolvări complete
Teorie Determinanți — Formule si exemple rezolvate

Determinanții sunt valori numerice asociate matricilor pătratice. Se calculează prin dezvoltare după o linie/coloană și au aplicații în rezolvarea sistemelor liniare.

Verificat de profesori de matematică

Ușor

49

probleme

Mediu

233

probleme

Grile de Determinanți

282 întrebări cu variante de răspuns

→

Exemple de probleme

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculul determinantului DD folosind dezvoltarea după prima linie. D=1⋅∣−111i∣−i⋅∣i1−1i∣+(−1)⋅∣i−1−11∣=1⋅((−1)i−1⋅1)−i⋅(i⋅i−1⋅(−1))+(−1)⋅(i⋅1−(−1)⋅(−1))=1⋅(−i−1)−i⋅(−1+1)+(−1)⋅(i−1)=−i−1−0−i+1=−2iD = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & i \end{vmatrix} - i \cdot \begin{vmatrix} i & 1 \\ -1 & i \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} i & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot ((-1)i - 1 \cdot 1) - i \cdot (i \cdot i - 1 \cdot (-1)) + (-1) \cdot (i \cdot 1 - (-1) \cdot (-1)) = 1 \cdot (-i - 1) - i \cdot (-1 + 1) + (-1) \cdot (i - 1) = -i - 1 - 0 - i + 1 = -2i. Așadar, D=−2iD = -2i.
23 puncte
Echivalarea cu ecuația dată. Avem −2i=x2−4x+5-2i = x^2 - 4x + 5. Deoarece DD este un număr complex pur imaginar și partea dreaptă este o expresie reală pentru xx real, ecuația are soluții doar dacă ambele părți sunt reale. Dar −2i-2i nu este real, deci nu există xx real care să satisfacă ecuația.
33 puncte
Concluzia. Prin urmare, mulțimea soluțiilor reale este vidă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculul determinantului sistemului Δ=∣a111a111a∣\Delta = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix}. Dezvoltând după prima linie, Δ=a(a2−1)−1(a−1)+1(1−a)=a(a−1)(a+1)−(a−1)−(a−1)=(a−1)[a(a+1)−2]=(a−1)(a2+a−2)=(a−1)(a−1)(a+2)=(a−1)2(a+2)\Delta = a(a^2 - 1) - 1(a - 1) + 1(1 - a) = a(a-1)(a+1) - (a-1) - (a-1) = (a-1)[a(a+1) - 2] = (a-1)(a^2 + a - 2) = (a-1)(a-1)(a+2) = (a-1)^2 (a+2).
23 puncte
Condiția pentru soluție unică. Sistemul are soluție unică dacă Δ≠0\Delta \neq 0, adică (a−1)2(a+2)≠0(a-1)^2 (a+2) \neq 0, deci a≠1a \neq 1 și a≠−2a \neq -2.
34 puncte
Aplicarea regulii lui Cramer. Pentru a≠1a \neq 1 și a≠−2a \neq -2, calculăm Δx,Δy,Δz\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z. Δx=∣111aa1a21a∣\Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & a & 1 \\ a^2 & 1 & a \end{vmatrix}. Calculând, Δx=1⋅∣a11a∣−1⋅∣a1a2a∣+1⋅∣aaa21∣=1(a2−1)−1(a2−a2)+1(a−a3)=a2−1+a−a3=−a3+a2+a−1=−(a−1)(a2+1)\Delta_x = 1 \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ a^2 & a \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} a & a \\ a^2 & 1 \end{vmatrix} = 1(a^2 - 1) - 1(a^2 - a^2) + 1(a - a^3) = a^2 - 1 + a - a^3 = -a^3 + a^2 + a - 1 = -(a-1)(a^2 + 1). Similar, Δy=∣a111a11a2a∣=−(a−1)2\Delta_y = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & a^2 & a \end{vmatrix} = -(a-1)^2 și Δz=∣a111aa11a2∣=−(a−1)(a+1)\Delta_z = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & a \\ 1 & 1 & a^2 \end{vmatrix} = -(a-1)(a+1). Atunci x=ΔxΔ=−(a−1)(a2+1)(a−1)2(a+2)=−a2+1(a−1)(a+2)x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-(a-1)(a^2+1)}{(a-1)^2(a+2)} = -\frac{a^2+1}{(a-1)(a+2)}, y=ΔyΔ=−(a−1)2(a−1)2(a+2)=−1a+2y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-(a-1)^2}{(a-1)^2(a+2)} = -\frac{1}{a+2}, z=ΔzΔ=−(a−1)(a+1)(a−1)2(a+2)=−a+1(a−1)(a+2)z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{-(a-1)(a+1)}{(a-1)^2(a+2)} = -\frac{a+1}{(a-1)(a+2)}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculează determinantul folosind regula lui Sarrus: D(a,b,c)=a(bc−a2)−b(b2−ac)+c(ab−c2)=abc−a3−b3+abc+abc−c3=3abc−(a3+b3+c3)D(a,b,c) = a(bc - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ab - c^2) = abc - a^3 - b^3 + abc + abc - c^3 = 3abc - (a^3 + b^3 + c^3).
23 puncte
Folosește identitatea a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca) pentru a rescrie D(a,b,c)=−(a3+b3+c3−3abc)=−(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)D(a,b,c) = -(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc) = -(a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca).
33 puncte
Deduce că D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0 dacă și numai dacă a+b+c=0a+b+c=0 sau a2+b2+c2−ab−bc−ca=0a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca = 0. A doua condiție este echivalentă cu (a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=0(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0, deci a=b=ca=b=c.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrie matricea sistemului și calculează determinantul principal D=∣111abca2b2c2∣D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}. Acesta este un determinant Vandermonde: D=(b−a)(c−a)(c−b)D = (b-a)(c-a)(c-b).
23 puncte
Sistemul are soluție unică dacă D≠0D \neq 0, adică dacă aa, bb, cc sunt distincte două câte două.
34 puncte
Aplică regula lui Cramer. Calculează determinanții auxiliari: Dx=∣111dbcd2b2c2∣=(b−d)(c−d)(c−b)D_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ d & b & c \\ d^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = (b-d)(c-d)(c-b), Dy=∣111adca2d2c2∣=(d−a)(c−a)(c−d)D_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & d & c \\ a^2 & d^2 & c^2 \end{vmatrix} = (d-a)(c-a)(c-d), Dz=∣111abda2b2d2∣=(b−a)(d−a)(d−b)D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & d \\ a^2 & b^2 & d^2 \end{vmatrix} = (b-a)(d-a)(d-b). Soluția este x=DxDx = \frac{D_x}{D}, y=DyDy = \frac{D_y}{D}, z=DzDz = \frac{D_z}{D}, presupunând D≠0D \neq 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5DeterminanțiMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Fie matricea A=(a111a111a)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui aa pentru care determinantul matricei AA este nul. Apoi, pentru a=2a = 2, rezolvați sistemul de ecuații liniare A⋅(xyz)=(111)A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se calculează determinantul matricei AA: det⁡(A)=∣a111a111a∣\det(A) = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix}. Adunând toate liniile la prima linie, se obține det⁡(A)=(a+2)∣1111a111a∣\det(A) = (a+2) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix}. Calculând acest determinant, det⁡(A)=a3−3a+2=(a−1)2(a+2)\det(A) = a^3 - 3a + 2 = (a-1)^2 (a+2). Setând det⁡(A)=0\det(A)=0, se obține a=1a=1 sau a=−2a=-2.
24 puncte
Pentru a=2a=2, det⁡(A)=4≠0\det(A)=4 \neq 0, deci sistemul are soluție unică. Se aplică regula lui Cramer. Se calculează det⁡(Ax)=∣111121112∣=1\det(A_x) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1, det⁡(Ay)=∣211111112∣=1\det(A_y) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1, det⁡(Az)=∣211121111∣=1\det(A_z) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1. Atunci x=det⁡(Ax)det⁡(A)=14x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{1}{4}, y=14y = \frac{1}{4}, z=14z = \frac{1}{4}.
32 puncte
Se verifică soluția în sistem și se concluzionează că pentru a=2a=2, sistemul are soluția x=y=z=14x=y=z=\frac{1}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6DeterminanțiVectoriGeometrie Analitică
Se dau punctele A(1,1,0)A(1,1,0), B(2,0,1)B(2,0,1), C(0,1,2)C(0,1,2), D(1,2,1)D(1,2,1) în spațiu. Calculați determinantul matricei având drept coloane coordonatele vectorilor AB⃗\vec{AB}, AC⃗\vec{AC}, AD⃗\vec{AD}. Folosiți acest determinant pentru a determina dacă punctele sunt coplanare și pentru a calcula volumul paralelipipedului determinat de acești vectori.
Mediu#7DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniarePolinoame
Se consideră matricea A=(abcbcacab)A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{pmatrix} cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Calculați det⁡(A)\det(A) și determinați condițiile în care det⁡(A)=0\det(A) = 0. Dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, rezolvați sistemul de ecuații liniare {ax+by+cz=0bx+cy+az=0cx+ay+bz=0\begin{cases} ax + by + cz = 0 \\ bx + cy + az = 0 \\ cx + ay + bz = 0 \end{cases}.
Mediu#8DeterminanțiGeometrie AnaliticăPolinoame
Demonstrați că determinantul Δ=∣111xyzx2y2z2∣\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix} este egal cu (x−y)(y−z)(z−x)(x-y)(y-z)(z-x). Utilizați acest rezultat pentru a stabili condiția de coliniaritate a punctelor A(x,x2),B(y,y2),C(z,z2)A(x, x^2), B(y, y^2), C(z, z^2) în planul cartezian.
Mediu#9DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie matricea A=(abcbcacab)A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{pmatrix}, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Demonstrați că det⁡(A)=(a+b+c)(ab+bc+ca−a2−b2−c2)\det(A) = (a+b+c)(ab+bc+ca - a^2 - b^2 - c^2). Apoi, pentru a=1,b=2,c=3a=1, b=2, c=3, determinați dacă sistemul A(xyz)=(666)A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix} are soluție unică.
Mediu#10DeterminanțiPolinoameAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(x)=∣x121x323x∣P(x) = \begin{vmatrix} x & 1 & 2 \\ 1 & x & 3 \\ 2 & 3 & x \end{vmatrix}. Calculați P(x)P(x) și exprimați-l sub formă canonică. Determinați apoi rădăcinile reale ale ecuației P(x)=0P(x) = 0.

Și alte 272 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Accesează toate cele 564 probleme de Determinanți cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Alte capitole pentru clasa a 11-a

→Aplicații ale derivatelor
536 probleme
→Asimptote
401 probleme
→Continuitate
399 probleme
→Derivate
497 probleme
→Matrici
509 probleme

Câștigă XP și badge-uri rezolvând probleme

Sistem de niveluri (1-20), clasament săptămânal și serie zilnică de învățare. Începe gratuit cu 50 de credite.