MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculul determinantului sistemului Δ=∣a111a111a∣\Delta = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix}. Dezvoltând după prima linie, Δ=a(a2−1)−1(a−1)+1(1−a)=a(a−1)(a+1)−(a−1)−(a−1)=(a−1)[a(a+1)−2]=(a−1)(a2+a−2)=(a−1)(a−1)(a+2)=(a−1)2(a+2)\Delta = a(a^2 - 1) - 1(a - 1) + 1(1 - a) = a(a-1)(a+1) - (a-1) - (a-1) = (a-1)[a(a+1) - 2] = (a-1)(a^2 + a - 2) = (a-1)(a-1)(a+2) = (a-1)^2 (a+2).
23 puncte
Condiția pentru soluție unică. Sistemul are soluție unică dacă Δ≠0\Delta \neq 0, adică (a−1)2(a+2)≠0(a-1)^2 (a+2) \neq 0, deci a≠1a \neq 1 și a≠−2a \neq -2.
34 puncte
Aplicarea regulii lui Cramer. Pentru a≠1a \neq 1 și a≠−2a \neq -2, calculăm Δx,Δy,Δz\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z. Δx=∣111aa1a21a∣\Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & a & 1 \\ a^2 & 1 & a \end{vmatrix}. Calculând, Δx=1⋅∣a11a∣−1⋅∣a1a2a∣+1⋅∣aaa21∣=1(a2−1)−1(a2−a2)+1(a−a3)=a2−1+a−a3=−a3+a2+a−1=−(a−1)(a2+1)\Delta_x = 1 \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ a^2 & a \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} a & a \\ a^2 & 1 \end{vmatrix} = 1(a^2 - 1) - 1(a^2 - a^2) + 1(a - a^3) = a^2 - 1 + a - a^3 = -a^3 + a^2 + a - 1 = -(a-1)(a^2 + 1). Similar, Δy=∣a111a11a2a∣=−(a−1)2\Delta_y = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & a^2 & a \end{vmatrix} = -(a-1)^2 și Δz=∣a111aa11a2∣=−(a−1)(a+1)\Delta_z = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & a \\ 1 & 1 & a^2 \end{vmatrix} = -(a-1)(a+1). Atunci x=ΔxΔ=−(a−1)(a2+1)(a−1)2(a+2)=−a2+1(a−1)(a+2)x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-(a-1)(a^2+1)}{(a-1)^2(a+2)} = -\frac{a^2+1}{(a-1)(a+2)}, y=ΔyΔ=−(a−1)2(a−1)2(a+2)=−1a+2y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-(a-1)^2}{(a-1)^2(a+2)} = -\frac{1}{a+2}, z=ΔzΔ=−(a−1)(a+1)(a−1)2(a+2)=−a+1(a−1)(a+2)z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{-(a-1)(a+1)}{(a-1)^2(a+2)} = -\frac{a+1}{(a-1)(a+2)}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#3DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Mediu#4DeterminanțiMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Fie matricea A=(a111a111a)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui aa pentru care determinantul matricei AA este nul. Apoi, pentru a=2a = 2, rezolvați sistemul de ecuații liniare A⋅(xyz)=(111)A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.