MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie matricea A=(1aba1cbc1)A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ a & 1 & c \\ b & c & 1 \end{pmatrix}, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Calculați determinantul lui AA și determinați valorile lui a,b,ca, b, c pentru care det⁡(A)=0\det(A) = 0. Apoi, pentru a=2a=2, b=1b=1, c=3c=3, rezolvați sistemul liniar A⋅(xyz)=(10−1)A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculul determinantului: det⁡(A)=1⋅∣1cc1∣−a⋅∣acb1∣+b⋅∣a1bc∣=1⋅(1⋅1−c⋅c)−a⋅(a⋅1−c⋅b)+b⋅(a⋅c−1⋅b)=1−c2−a(a−bc)+b(ac−b)=1−c2−a2+abc+abc−b2=1−a2−b2−c2+2abc\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & c \\ c & 1 \end{vmatrix} - a \cdot \begin{vmatrix} a & c \\ b & 1 \end{vmatrix} + b \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ b & c \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 1 - c \cdot c) - a \cdot (a \cdot 1 - c \cdot b) + b \cdot (a \cdot c - 1 \cdot b) = 1 - c^2 - a(a - bc) + b(ac - b) = 1 - c^2 - a^2 + abc + abc - b^2 = 1 - a^2 - b^2 - c^2 + 2abc. \
23 puncte
Condiția det⁡(A)=0\det(A)=0: 1−a2−b2−c2+2abc=01 - a^2 - b^2 - c^2 + 2abc = 0. Aceasta ecuație definește o suprafață în spațiu; de exemplu, pentru a=b=ca=b=c, obținem 1−3a2+2a3=01 - 3a^2 + 2a^3 = 0, cu soluții a=1a=1 sau a=−1±22a=\frac{-1 \pm \sqrt{2}}{2}. \
34 puncte
Pentru a=2a=2, b=1b=1, c=3c=3, calculăm det⁡(A)=1−4−1−9+2⋅2⋅1⋅3=1−14+12=−1≠0\det(A) = 1 - 4 - 1 - 9 + 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 14 + 12 = -1 \neq 0, deci sistemul are soluție unică. Rezolvăm sistemul: {x+2y+z=12x+y+3z=0x+3y+z=−1\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 0 \\ x + 3y + z = -1 \end{cases}. Folosind regula lui Cramer sau eliminare gaussiană, obținem x=1x = 1, y=−1y = -1, z=0z = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.