MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Fie sistemul de ecuații liniare: {(m+2)x+3y−z=4 2x+(m−1)y+2z=1 x−y+mz=2\begin{cases} (m+2)x + 3y - z = 4 \ 2x + (m-1)y + 2z = 1 \ x - y + mz = 2 \end{cases}, unde mm este un parametru real. a) Calculați determinantul Δ\Delta al matricei coeficienților. b) Determinați valorile lui mm pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru m=0m=0, rezolvați sistemul folosind regula lui Cramer.

Rezolvare completă

12 puncte · 7 pași
12 puncte
Scrierea matricei coeficienților A=(m+23−12m−121−1m)A = \begin{pmatrix} m+2 & 3 & -1 \\ 2 & m-1 & 2 \\ 1 & -1 & m \end{pmatrix} și definirea determinantului Δ=det⁡(A)\Delta = \det(A).
23 puncte
Calculul determinantului Δ\Delta dezvoltând după prima linie: Δ=(m+2)∣m−12−1m∣−3∣221m∣+(−1)∣2m−11−1∣\Delta = (m+2)\begin{vmatrix} m-1 & 2 \\ -1 & m \end{vmatrix} - 3\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & m \end{vmatrix} + (-1)\begin{vmatrix} 2 & m-1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}.
32 puncte
Simplificarea la Δ=m3−m2−4m+4\Delta = m^3 - m^2 - 4m + 4.
41 punct
Condiția pentru soluție unică: Δ≠0\Delta \neq 0.
51 punct
Rezolvarea ecuației Δ=0\Delta = 0 pentru a găsi valorile lui mm care nu permit soluție unică: m3−m2−4m+4=0⇒(m−1)(m2−4)=0m^3 - m^2 - 4m + 4 = 0 \Rightarrow (m-1)(m^2-4) = 0, deci m∈{1,2,−2}m \in \{1, 2, -2\}.
61 punct
Concluzia: sistemul are soluție unică pentru m∈R∖{1,2,−2}m \in \mathbb{R} \setminus \{1, 2, -2\}.
72 puncte
Pentru m=0m=0, calculul determinanților Δx,Δy,Δz\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z și determinarea soluției x=ΔxΔ,y=ΔyΔ,z=ΔzΔx = \frac{\Delta_x}{\Delta}, y = \frac{\Delta_y}{\Delta}, z = \frac{\Delta_z}{\Delta}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.