MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde aa este un parametru real. Determinați valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică, și în acest caz, găsiți soluția folosind regula lui Cramer.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați determinantul matricei coeficienților: Δ=∣a111a111a∣\Delta = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix}. Se obține Δ=a3−3a+2\Delta = a^3 - 3a + 2 prin regula lui Sarrus sau dezvoltare după o linie/coloană.
22 puncte
Determinați valorile lui aa pentru care Δ≠0\Delta \neq 0, adică rezolvați a3−3a+2=0a^3 - 3a + 2 = 0. Se factorizează: (a−1)2(a+2)=0(a-1)^2(a+2)=0, deci Δ=0\Delta = 0 pentru a=1a = 1 sau a=−2a = -2. Sistemul are soluție unică pentru a∈R∖{1,−2}a \in \mathbb{R} \setminus \{1, -2\}.
35 puncte
Pentru a≠1a \neq 1 și a≠−2a \neq -2, aplicați regula lui Cramer. Calculați Δx=∣111aa1a21a∣=a3−a2−a+1\Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & a & 1 \\ a^2 & 1 & a \end{vmatrix} = a^3 - a^2 - a + 1, Δy=∣a111a11a2a∣=a4−a3−a+1\Delta_y = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & a^2 & a \end{vmatrix} = a^4 - a^3 - a + 1, Δz=∣a111aa11a2∣=a5−a3−a2+1\Delta_z = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & a \\ 1 & 1 & a^2 \end{vmatrix} = a^5 - a^3 - a^2 + 1. Simplificați expresiile: Δx=(a−1)2(a+1)\Delta_x = (a-1)^2(a+1), Δy=(a−1)2(a+1)(a2+a+1)\Delta_y = (a-1)^2(a+1)(a^2+a+1), Δz=(a−1)2(a+1)(a2+1)\Delta_z = (a-1)^2(a+1)(a^2+1). Atunci x=ΔxΔ=(a−1)2(a+1)(a−1)2(a+2)=a+1a+2x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{(a-1)^2(a+1)}{(a-1)^2(a+2)} = \frac{a+1}{a+2}, y=ΔyΔ=(a−1)2(a+1)(a2+a+1)(a−1)2(a+2)=(a+1)(a2+a+1)a+2y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{(a-1)^2(a+1)(a^2+a+1)}{(a-1)^2(a+2)} = \frac{(a+1)(a^2+a+1)}{a+2}, z=ΔzΔ=(a−1)2(a+1)(a2+1)(a−1)2(a+2)=(a+1)(a2+1)a+2z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{(a-1)^2(a+1)(a^2+1)}{(a-1)^2(a+2)} = \frac{(a+1)(a^2+1)}{a+2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.