MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiEcuații exponentiale
Fie matricea A=(aexe−xe−xaexexe−xa)A = \begin{pmatrix} a & e^x & e^{-x} \\ e^{-x} & a & e^x \\ e^x & e^{-x} & a \end{pmatrix}, unde a∈Ra \in \mathbb{R} și x∈Rx \in \mathbb{R}. Calculați det⁡(A)\det(A) și determinați valorile lui aa pentru care există x∈Rx \in \mathbb{R} astfel încât det⁡(A)=0\det(A) = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem determinantul și aplicăm regula lui Sarrus: det⁡(A)=a⋅a⋅a+ex⋅ex⋅ex+e−x⋅e−x⋅e−x−(e−x⋅a⋅ex+ex⋅e−x⋅a+a⋅ex⋅e−x)=a3+e3x+e−3x−3a\det(A) = a \cdot a \cdot a + e^x \cdot e^x \cdot e^x + e^{-x} \cdot e^{-x} \cdot e^{-x} - (e^{-x} \cdot a \cdot e^x + e^x \cdot e^{-x} \cdot a + a \cdot e^x \cdot e^{-x}) = a^3 + e^{3x} + e^{-3x} - 3a.
24 puncte
Notăm t=e3x>0t = e^{3x} > 0. Atunci det⁡(A)=a3−3a+t+1t\det(A) = a^3 - 3a + t + \frac{1}{t}. Ecuația det⁡(A)=0\det(A) = 0 devine t+1t=3a−a3t + \frac{1}{t} = 3a - a^3. Pentru a exista x∈Rx \in \mathbb{R}, trebuie să existe t>0t > 0 astfel încât această egalitate să aibă loc.
33 puncte
Știm că pentru t>0t > 0, t+1t≥2t + \frac{1}{t} \geq 2, cu egalitate pentru t=1t=1. Prin urmare, trebuie ca 3a−a3≥23a - a^3 \geq 2, adică a3−3a+2≤0a^3 - 3a + 2 \leq 0. Factorizăm: a3−3a+2=(a−1)2(a+2)≤0a^3 - 3a + 2 = (a-1)^2 (a+2) \leq 0. Cum (a−1)2≥0(a-1)^2 \geq 0, inegalitatea este satisfăcută dacă a+2≤0a+2 \leq 0, deci a≤−2a \leq -2, sau a=1a=1 (cazul de egalitate). Astfel, valorile căutate ale lui aa sunt a≤−2a \leq -2 sau a=1a=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.