MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(X)=X3+pX2+qX+rP(X) = X^3 + pX^2 + qX + r. Se consideră matricea B=(1αα21ββ21γγ2)B = \begin{pmatrix} 1 & \alpha & \alpha^2 \\ 1 & \beta & \beta^2 \\ 1 & \gamma & \gamma^2 \end{pmatrix}, unde α,β,γ\alpha, \beta, \gamma sunt rădăcinile polinomului P(X)P(X). Calculați determinantul lui BB în funcție de p,q,rp, q, r. Demonstrați că determinantul este egal cu (α−β)(β−γ)(γ−α)(\alpha - \beta)(\beta - \gamma)(\gamma - \alpha).

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
15 puncte
Calculați determinantul matricei Vandermonde: det⁡(B)=∣1αα21ββ21γγ2∣=(β−α)(γ−α)(γ−β)=(α−β)(β−γ)(γ−α)\det(B) = \begin{vmatrix} 1 & \alpha & \alpha^2 \\ 1 & \beta & \beta^2 \\ 1 & \gamma & \gamma^2 \end{vmatrix} = (\beta - \alpha)(\gamma - \alpha)(\gamma - \beta) = (\alpha - \beta)(\beta - \gamma)(\gamma - \alpha) (semnul este ajustat pentru a corespunde enunțului).
25 puncte
Folosind relațiile lui Viète, α+β+γ=−p\alpha + \beta + \gamma = -p, αβ+βγ+γα=q\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = q, αβγ=−r\alpha\beta\gamma = -r. Pentru a exprima det⁡(B)\det(B) în funcție de p,q,rp, q, r, calculați det⁡(B)2=(α−β)2(β−γ)2(γ−α)2\det(B)^2 = (\alpha - \beta)^2(\beta - \gamma)^2(\gamma - \alpha)^2, care este discriminantul polinomului. Demonstrați că det⁡(B)2=−4p3r+p2q2+18pqr−4q3−27r2\det(B)^2 = -4p^3r + p^2q^2 + 18pqr - 4q^3 - 27r^2, folosind identități algebrice și înlocuind relațiile lui Viète.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.