MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiPolinoameAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie p(x)=x3+ax2+bx+cp(x) = x^3 + ax^2 + bx + c un polinom cu rădăcinile reale x1,x2,x3x_1, x_2, x_3. Se consideră matricea Vandermonde V=(1x1x121x2x221x3x32)V = \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{pmatrix}. Calculați determinantul det⁡(V)\det(V) și arătați că det⁡(V)=(x2−x1)(x3−x1)(x3−x2)\det(V) = (x_2 - x_1)(x_3 - x_1)(x_3 - x_2). Apoi, folosind relațiile lui Vietă pentru polinomul p(x)p(x), exprimați det⁡(V)\det(V) în funcție de coeficienții a,b,ca, b, c.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Scădem prima linie din celelalte două: det⁡(V)=∣1x1x120x2−x1x22−x120x3−x1x32−x12∣=(x2−x1)(x3−x1)∣1x2+x11x3+x1∣=(x2−x1)(x3−x1)(x3−x2)\det(V) = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 0 & x_2 - x_1 & x_2^2 - x_1^2 \\ 0 & x_3 - x_1 & x_3^2 - x_1^2 \end{vmatrix} = (x_2 - x_1)(x_3 - x_1) \begin{vmatrix} 1 & x_2 + x_1 \\ 1 & x_3 + x_1 \end{vmatrix} = (x_2 - x_1)(x_3 - x_1)(x_3 - x_2).
23 puncte
Din relațiile lui Vietă, x1+x2+x3=−ax_1 + x_2 + x_3 = -a, x1x2+x2x3+x3x1=bx_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = b, x1x2x3=−cx_1 x_2 x_3 = -c. Calculăm (x2−x1)(x3−x1)(x3−x2)(x_2 - x_1)(x_3 - x_1)(x_3 - x_2) folosind aceste relații.
33 puncte
Se obține det⁡(V)=(−a)2b2−4b3−4a3c+18abc−27c2\det(V) = \sqrt{(-a)^2 b^2 - 4b^3 - 4a^3 c + 18abc - 27c^2}, dar pentru simplitate, se poate exprima ca det⁡(V)=Δ\det(V) = \sqrt{\Delta}, unde Δ\Delta este discriminantul polinomului cubic, de exemplu Δ=a2b2−4b3−4a3c+18abc−27c2\Delta = a^2 b^2 - 4b^3 - 4a^3 c + 18abc - 27c^2. Se acceptă orice formă echivalentă derivată corect.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.