MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Fie sistemul de ecuații liniare cu parametrul real mm: {(m+1)x+2y+z=3x+(m+1)y+z=2x+y+(m+1)z=1\begin{cases} (m+1)x + 2y + z = 3 \\ x + (m+1)y + z = 2 \\ x + y + (m+1)z = 1 \end{cases}. Studiați compatibilitatea sistemului în funcție de mm folosind determinanți și determinați soluțiile când sistemul este compatibil determinat.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm determinantul principal Δ=∣m+1211m+1111m+1∣\Delta = \begin{vmatrix} m+1 & 2 & 1 \\ 1 & m+1 & 1 \\ 1 & 1 & m+1 \end{vmatrix}. Dezvoltăm: Δ=(m+1)∣m+111m+1∣−2∣111m+1∣+1∣1m+111∣=(m+1)((m+1)2−1)−2((m+1)−1)+(1−(m+1))=(m+1)(m2+2m)−2m−m=m(m+1)(m+2)−3m=m(m2+3m+2−3)=m(m2+3m−1)\Delta = (m+1) \begin{vmatrix} m+1 & 1 \\ 1 & m+1 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & m+1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & m+1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (m+1)((m+1)^2 - 1) - 2((m+1) - 1) + (1 - (m+1)) = (m+1)(m^2 + 2m) - 2m - m = m(m+1)(m+2) - 3m = m(m^2 + 3m + 2 - 3) = m(m^2 + 3m - 1).
23 puncte
Sistemul este compatibil determinat dacă Δ≠0\Delta \neq 0, adică m≠0m \neq 0 și m2+3m−1≠0m^2 + 3m - 1 \neq 0. Pentru m=0m=0 sau mm rădăcină a ecuației m2+3m−1=0m^2 + 3m - 1 = 0, se analizează compatibilitatea folosind rangul matricilor.
32 puncte
Pentru Δ≠0\Delta \neq 0, calculăm determinanții Δx,Δy,Δz\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z folosind regula lui Cramer. De exemplu, Δx=∣3212m+1111m+1∣\Delta_x = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & m+1 & 1 \\ 1 & 1 & m+1 \end{vmatrix}.
42 puncte
Soluțiile sunt x=ΔxΔx = \frac{\Delta_x}{\Delta}, y=ΔyΔy = \frac{\Delta_y}{\Delta}, z=ΔzΔz = \frac{\Delta_z}{\Delta}, cu Δ=m(m2+3m−1)\Delta = m(m^2 + 3m - 1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.