MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se consideră sistemul de ecuații liniare cu parametrul real kk: {2x+y−z=1x−y+2z=23x+ky+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 2 \\ 3x + ky + z = 4 \end{cases}. a) Calculați determinantul Δ\Delta al matricei coeficienților. b) Discutați, în funcție de kk, natura sistemului (compatibil determinat, compatibil nedeterminat, incompatibil). c) Pentru k=1k=1, rezolvați sistemul folosind regula lui Cramer.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Matricea coeficienților este M=(21−11−123k1)M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & k & 1 \end{pmatrix}. Calculăm Δ=det⁡(M)=2⋅(−1)⋅1+1⋅2⋅3+(−1)⋅1⋅k−[(−1)⋅(−1)⋅3+2⋅2⋅k+1⋅1⋅1]=−2+6−k−(3+4k+1)=4−k−4−4k=−5k\Delta = \det(M) = 2 \cdot (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 3 + (-1) \cdot 1 \cdot k - [(-1) \cdot (-1) \cdot 3 + 2 \cdot 2 \cdot k + 1 \cdot 1 \cdot 1] = -2 + 6 - k - (3 + 4k + 1) = 4 - k - 4 - 4k = -5k.
23 puncte
Dacă Δ≠0\Delta \neq 0, adică k≠0k \neq 0, sistemul este compatibil determinat. Pentru k=0k=0, Δ=0\Delta=0. Înlocuim k=0k=0 în sistem: {2x+y−z=1x−y+2z=23x+z=4\begin{cases} 2x+y-z=1 \\ x-y+2z=2 \\ 3x+z=4 \end{cases}. Din a treia ecuație, z=4−3xz=4-3x. Înlocuind în primele două: prima devine 2x+y−(4−3x)=1⇒5x+y=52x+y-(4-3x)=1 \Rightarrow 5x+y=5; a doua devine x−y+2(4−3x)=2⇒x−y+8−6x=2⇒−5x−y=−6⇒5x+y=6x-y+2(4-3x)=2 \Rightarrow x-y+8-6x=2 \Rightarrow -5x-y=-6 \Rightarrow 5x+y=6. Cele două ecuații sunt contradictorii, deci sistemul este incompatibil pentru k=0k=0.
33 puncte
Pentru k=1k=1, Δ=−5≠0\Delta = -5 \neq 0. Calculăm determinanții pentru necunoscute: Δx=∣11−12−12411∣=1⋅(−1)⋅1+1⋅2⋅4+(−1)⋅2⋅1−[(−1)⋅(−1)⋅4+2⋅2⋅1+1⋅1⋅1]=−1+8−2−(4+4+1)=5−9=−4\Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 4 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot(-1)\cdot1 + 1\cdot2\cdot4 + (-1)\cdot2\cdot1 - [(-1)\cdot(-1)\cdot4 + 2\cdot2\cdot1 + 1\cdot1\cdot1] = -1 + 8 -2 - (4 + 4 + 1) = 5 - 9 = -4. Δy=∣21−1122341∣=2⋅2⋅1+1⋅2⋅3+(−1)⋅1⋅4−[(−1)⋅2⋅3+2⋅2⋅4+1⋅1⋅1]=4+6−4−(−6+16+1)=6−11=−5\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \end{vmatrix} = 2\cdot2\cdot1 + 1\cdot2\cdot3 + (-1)\cdot1\cdot4 - [(-1)\cdot2\cdot3 + 2\cdot2\cdot4 + 1\cdot1\cdot1] = 4 + 6 -4 - (-6 + 16 + 1) = 6 - 11 = -5. Δz=∣2111−12314∣=2⋅(−1)⋅4+1⋅2⋅3+1⋅1⋅1−[1⋅(−1)⋅3+2⋅2⋅1+1⋅1⋅4]=−8+6+1−(−3+4+4)=−1−5=−6\Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 2\cdot(-1)\cdot4 + 1\cdot2\cdot3 + 1\cdot1\cdot1 - [1\cdot(-1)\cdot3 + 2\cdot2\cdot1 + 1\cdot1\cdot4] = -8 + 6 + 1 - (-3 + 4 + 4) = -1 - 5 = -6. Atunci x=Δx/Δ=−4/−5=4/5x = \Delta_x / \Delta = -4 / -5 = 4/5, y=Δy/Δ=−5/−5=1y = \Delta_y / \Delta = -5 / -5 = 1, z=Δz/Δ=−6/−5=6/5z = \Delta_z / \Delta = -6 / -5 = 6/5. Soluția este (4/5,1,6/5)(4/5, 1, 6/5).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.