MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+ay+z=1ax+y+z=ax+y+az=a2\begin{cases} x + ay + z = 1 \\ ax + y + z = a \\ x + y + az = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică, apoi rezolvați sistemul în acest caz.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți matricea sistemului și calculați determinantul D=∣1a1a1111a∣D = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix}. Folosind regula lui Sarrus sau dezvoltări, obțineți D=(1⋅1⋅a+a⋅1⋅1+1⋅a⋅1)−(1⋅1⋅1+1⋅1⋅a+a⋅a⋅1)=(a+a+a)−(1+a+a2)=3a−1−a−a2=−a2+2a−1=−(a−1)2D = (1 \cdot 1 \cdot a + a \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot a \cdot 1) - (1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot a + a \cdot a \cdot 1) = (a + a + a) - (1 + a + a^2) = 3a - 1 - a - a^2 = -a^2 + 2a - 1 = -(a-1)^2.
22 puncte
Sistemul are soluție unică dacă D≠0D \neq 0, adică −(a−1)2≠0⇒a≠1-(a-1)^2 \neq 0 \Rightarrow a \neq 1. Pentru a=1a = 1, determinantul este zero și se analizează separat (dar acest caz nu este cerut pentru soluția unică).
35 puncte
Pentru a≠1a \neq 1, aplicați regula lui Cramer. Calculați determinanții Dx,Dy,DzD_x, D_y, D_z: Dx=∣1a1a11a21a∣=(1⋅1⋅a+a⋅1⋅a2+1⋅a⋅1)−(1⋅1⋅a2+a⋅1⋅a+1⋅a⋅1)=(a+a3+a)−(a2+a2+a)=a3+2a−2a2−a=a3−2a2+a=a(a−1)2D_x = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \\ a^2 & 1 & a \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot a + a \cdot 1 \cdot a^2 + 1 \cdot a \cdot 1) - (1 \cdot 1 \cdot a^2 + a \cdot 1 \cdot a + 1 \cdot a \cdot 1) = (a + a^3 + a) - (a^2 + a^2 + a) = a^3 + 2a - 2a^2 - a = a^3 - 2a^2 + a = a(a-1)^2. Similar, Dy=∣111aa11a2a∣=(1⋅a⋅a+1⋅1⋅1+1⋅a⋅a2)−(1⋅a⋅1+1⋅1⋅a2+1⋅a⋅a)=(a2+1+a3)−(a+a2+a2)=a3+a2+1−a−2a2=a3−a2−a+1=(a−1)2(a+1)D_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & a & 1 \\ 1 & a^2 & a \end{vmatrix} = (1 \cdot a \cdot a + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot a \cdot a^2) - (1 \cdot a \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot a^2 + 1 \cdot a \cdot a) = (a^2 + 1 + a^3) - (a + a^2 + a^2) = a^3 + a^2 + 1 - a - 2a^2 = a^3 - a^2 - a + 1 = (a-1)^2(a+1). Dz=∣1a1a1a11a2∣=(1⋅1⋅a2+a⋅a⋅1+1⋅a⋅1)−(1⋅1⋅1+a⋅a⋅a2+1⋅1⋅a)=(a2+a2+a)−(1+a3+a)=2a2+a−1−a3−a=−a3+2a2−1=−(a−1)2(a+1)D_z = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 1 & a \\ 1 & 1 & a^2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot a^2 + a \cdot a \cdot 1 + 1 \cdot a \cdot 1) - (1 \cdot 1 \cdot 1 + a \cdot a \cdot a^2 + 1 \cdot 1 \cdot a) = (a^2 + a^2 + a) - (1 + a^3 + a) = 2a^2 + a - 1 - a^3 - a = -a^3 + 2a^2 - 1 = -(a-1)^2(a+1). Soluțiile sunt x=DxD=a(a−1)2−(a−1)2=−ax = \frac{D_x}{D} = \frac{a(a-1)^2}{-(a-1)^2} = -a, y=DyD=(a−1)2(a+1)−(a−1)2=−(a+1)y = \frac{D_y}{D} = \frac{(a-1)^2(a+1)}{-(a-1)^2} = -(a+1), z=DzD=−(a−1)2(a+1)−(a−1)2=a+1z = \frac{D_z}{D} = \frac{-(a-1)^2(a+1)}{-(a-1)^2} = a+1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.