MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiPolinoameIdentități algebrice
Fie polinomul P(X)=det⁡(XabaXcbcX)P(X) = \det \begin{pmatrix} X & a & b \\ a & X & c \\ b & c & X \end{pmatrix}, unde a,b,ca, b, c sunt numere reale fixe. a) Arătați că P(X)P(X) este un polinom de gradul trei. b) Determinați coeficienții lui P(X)P(X) în funcție de a,b,ca, b, c. c) Demonstrați că dacă a2+b2+c2=1a^2 + b^2 + c^2 = 1, atunci toate rădăcinile lui P(X)P(X) sunt numere reale.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calcul determinantul folosind regula lui Sarrus: P(X)=X⋅(X⋅X−c⋅c)−a⋅(a⋅X−c⋅b)+b⋅(a⋅c−X⋅b)=X(X2−c2)−a(aX−bc)+b(ac−bX)=X3−Xc2−a2X+abc+abc−b2X=X3−(a2+b2+c2)X+2abcP(X) = X \cdot (X \cdot X - c \cdot c) - a \cdot (a \cdot X - c \cdot b) + b \cdot (a \cdot c - X \cdot b) = X(X^2 - c^2) - a(aX - bc) + b(ac - bX) = X^3 - Xc^2 - a^2X + abc + abc - b^2X = X^3 - (a^2 + b^2 + c^2)X + 2abc. Se observă că este un polinom în XX de gradul trei, cu coeficienți reali.
24 puncte
Coeficienții sunt: coeficientul lui X3X^3 este 11, coeficientul lui X2X^2 este 00, coeficientul lui XX este −(a2+b2+c2)-(a^2 + b^2 + c^2), iar termenul liber este 2abc2abc. Deci P(X)=X3−(a2+b2+c2)X+2abcP(X) = X^3 - (a^2 + b^2 + c^2)X + 2abc.
33 puncte
Dacă a2+b2+c2=1a^2 + b^2 + c^2 = 1, atunci P(X)=X3−X+2abcP(X) = X^3 - X + 2abc. Considerăm funcția f(X)=X3−X+2abcf(X) = X^3 - X + 2abc. Derivata f′(X)=3X2−1f'(X) = 3X^2 - 1. Rădăcinile derivatei: X=±13X = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}. Analizăm variația: f(X)f(X) este strict crescătoare pe (−∞,−13](-\infty, -\frac{1}{\sqrt{3}}] și [13,∞)[\frac{1}{\sqrt{3}}, \infty), și strict descrescătoare pe [−13,13][-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}]. Valorile la capete: lim⁡X→−∞f(X)=−∞\lim_{X \to -\infty} f(X) = -\infty, lim⁡X→∞f(X)=∞\lim_{X \to \infty} f(X) = \infty. Calculăm f(−13)=−133+13+2abc=233+2abcf(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{1}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + 2abc = \frac{2}{3\sqrt{3}} + 2abc și f(13)=133−13+2abc=−233+2abcf(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{1}{3\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} + 2abc = -\frac{2}{3\sqrt{3}} + 2abc. Deoarece 2abc2abc este constant, funcția cubică are trei rădăcini reale dacă și numai dacă există o variație de semn. În general, pentru orice abcabc, datorită formei polinomului cubic și comportamentului asimptotic, polinomul are cel puțin o rădăcină reală, dar pentru a demonstra că are toate trei reale, putem observa că discriminantul unui polinom cubic X3+pX+qX^3 + pX + q este Δ=−4p3−27q2\Delta = -4p^3 - 27q^2. Aici p=−1p = -1, q=2abcq = 2abc, deci Δ=−4(−1)3−27(2abc)2=4−108a2b2c2\Delta = -4(-1)^3 - 27(2abc)^2 = 4 - 108a^2b^2c^2. Dacă a2+b2+c2=1a^2 + b^2 + c^2 = 1, atunci a2b2c2≤(a2+b2+c23)3=127a^2b^2c^2 \leq \left(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}, deci 108a2b2c2≤4108a^2b^2c^2 \leq 4, deci Δ≥0\Delta \geq 0, ceea ce implică că toate rădăcinile sunt reale (pentru un polinom cubic, Δ>0\Delta > 0 dă trei rădăcini reale distincte, Δ=0\Delta = 0 dă rădăcini multiple reale).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.