MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiMatriciAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați determinantul matricei A=(abcbcacab)A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{pmatrix}, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Determinați condițiile pe care trebuie să le îndeplinească a,b,ca, b, c astfel încât matricea AA să fie inversabilă.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți determinantul matricei AA: det⁡(A)=∣abcbcacab∣\det(A) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}. Aplicați proprietăți ale determinanților, cum ar fi adunarea liniilor.
24 puncte
Calculați det⁡(A)\det(A): adunați toate liniile la prima linie, obținând det⁡(A)=(a+b+c)∣111bcacab∣\det(A) = (a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}. Apoi, scădeți coloanele pentru a obține det⁡(A)=(a+b+c)(ab+bc+ca−a2−b2−c2)\det(A) = (a+b+c)(ab + bc + ca - a^2 - b^2 - c^2).
33 puncte
Matricea AA este inversabilă dacă și numai dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0. Deci, condiția este a+b+c≠0a+b+c \neq 0 și ab+bc+ca≠a2+b2+c2ab + bc + ca \neq a^2 + b^2 + c^2 (sau echivalent, a,b,ca, b, c nu sunt toate egale și suma lor nu este zero).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.