MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Fie matricea A=(a111a111a)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui aa pentru care determinantul matricei AA este nul. Apoi, pentru a=2a = 2, rezolvați sistemul de ecuații liniare A⋅(xyz)=(111)A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se calculează determinantul matricei AA: det⁡(A)=∣a111a111a∣\det(A) = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix}. Adunând toate liniile la prima linie, se obține det⁡(A)=(a+2)∣1111a111a∣\det(A) = (a+2) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix}. Calculând acest determinant, det⁡(A)=a3−3a+2=(a−1)2(a+2)\det(A) = a^3 - 3a + 2 = (a-1)^2 (a+2). Setând det⁡(A)=0\det(A)=0, se obține a=1a=1 sau a=−2a=-2.
24 puncte
Pentru a=2a=2, det⁡(A)=4≠0\det(A)=4 \neq 0, deci sistemul are soluție unică. Se aplică regula lui Cramer. Se calculează det⁡(Ax)=∣111121112∣=1\det(A_x) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1, det⁡(Ay)=∣211111112∣=1\det(A_y) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1, det⁡(Az)=∣211121111∣=1\det(A_z) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1. Atunci x=det⁡(Ax)det⁡(A)=14x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{1}{4}, y=14y = \frac{1}{4}, z=14z = \frac{1}{4}.
32 puncte
Se verifică soluția în sistem și se concluzionează că pentru a=2a=2, sistemul are soluția x=y=z=14x=y=z=\frac{1}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.