MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareIdentități algebrice
Demonstrați că determinantul ∣111abca2b2c2∣=(a−b)(b−c)(c−a)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = (a-b)(b-c)(c-a) pentru orice numere reale a,b,ca, b, c. Apoi, pentru a=1,b=2,c=3a=1, b=2, c=3, rezolvați sistemul {x+y+z=6x+2y+3z=9x+4y+9z=14\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x + 2y + 3z = 9 \\ x + 4y + 9z = 14 \end{cases} folosind regula lui Cramer.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Demonstrarea identității: calculăm determinantul direct: ∣111abca2b2c2∣=(bc2−b2c)−(ac2−a2c)+(ab2−a2b)=bc(c−b)−ac(c−a)+ab(b−a)=(a−b)(b−c)(c−a)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = (b c^2 - b^2 c) - (a c^2 - a^2 c) + (a b^2 - a^2 b) = bc(c-b) - ac(c-a) + ab(b-a) = (a-b)(b-c)(c-a) (prin factorizare sau verificare algebrică).
23 puncte
Sistemul se scrie sub formă matricială: M⋅(xyz)=(6914)M \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \\ 14 \end{pmatrix}, cu M=(111123149)M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{pmatrix}. Calculăm det⁡(M)\det(M) folosind identitatea demonstrată: pentru a=1,b=2,c=3a=1, b=2, c=3, det⁡(M)=(1−2)(2−3)(3−1)=(−1)(−1)(2)=2\det(M) = (1-2)(2-3)(3-1) = (-1)(-1)(2) = 2.
33 puncte
Aplicăm regula lui Cramer: x=det⁡(Mx)det⁡(M)x = \frac{\det(M_x)}{\det(M)}, unde MxM_x se obține înlocuind prima coloană a lui MM cu vectorul termenilor liberi. det⁡(Mx)=∣6119231449∣=6∣2349∣−1∣93149∣+1∣92144∣=6(18−12)−(81−42)+(36−28)=36−39+8=5\det(M_x) = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 9 & 2 & 3 \\ 14 & 4 & 9 \end{vmatrix} = 6 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 9 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 9 & 3 \\ 14 & 9 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 9 & 2 \\ 14 & 4 \end{vmatrix} = 6(18-12) - (81-42) + (36-28) = 36 - 39 + 8 = 5. Similar, det⁡(My)=7\det(M_y) = 7 și det⁡(Mz)=4\det(M_z) = 4. Deci, x=52=2.5x = \frac{5}{2} = 2.5, y=72=3.5y = \frac{7}{2} = 3.5, z=42=2z = \frac{4}{2} = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.