MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Fie matricea M=(xy1y1x1xy)M = \begin{pmatrix} x & y & 1 \\ y & 1 & x \\ 1 & x & y \end{pmatrix}, unde x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. Calculați det⁡(M)\det(M) și arătați că det⁡(M)=−x3−y3+3xy−1\det(M) = -x^3 - y^3 + 3xy - 1. Apoi, determinați toate perechile (x,y)(x, y) pentru care det⁡(M)=0\det(M) = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Calculul determinantului folosind regula lui Sarrus sau dezvoltare: det⁡(M)=x(1⋅y−x⋅x)−y(y⋅y−1⋅x)+1(y⋅x−1⋅1)=x(y−x2)−y(y2−x)+(xy−1)=xy−x3−y3+xy+xy−1=−x3−y3+3xy−1\det(M) = x(1 \cdot y - x \cdot x) - y(y \cdot y - 1 \cdot x) + 1(y \cdot x - 1 \cdot 1) = x(y - x^2) - y(y^2 - x) + (xy - 1) = xy - x^3 - y^3 + xy + xy - 1 = -x^3 - y^3 + 3xy - 1.
26 puncte
Rezolvarea ecuației det⁡(M)=0\det(M)=0: −x3−y3+3xy−1=0⇒x3+y3−3xy+1=0-x^3 - y^3 + 3xy - 1 = 0 \Rightarrow x^3 + y^3 - 3xy + 1 = 0. Folosind identitatea a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca) cu a=xa=x, b=yb=y, c=1c=1, obținem (x+y+1)(x2+y2+1−xy−x−y)=0(x+y+1)(x^2 + y^2 + 1 - xy - x - y) = 0. Deci x+y+1=0x+y+1=0 sau x2+y2+1−xy−x−y=0x^2 + y^2 + 1 - xy - x - y = 0. Pentru x+y+1=0x+y+1=0, perechile sunt (x,−x−1)(x, -x-1) cu x∈Rx \in \mathbb{R}. Pentru a doua ecuație, se poate scrie ca 12[(x−y)2+(x−1)2+(y−1)2]=0\frac{1}{2}[(x-y)^2 + (x-1)^2 + (y-1)^2] = 0, care implică x=y=1x=y=1. Astfel, perechile sunt (x,−x−1)(x, -x-1) pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} și (1,1)(1,1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.