MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Fie matricea A=(1aa21bb21cc2)A = \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{pmatrix}. Demonstrați că det⁡(A)=(b−a)(c−a)(c−b)\det(A) = (b-a)(c-a)(c-b). Utilizând acest rezultat, rezolvați sistemul de ecuații liniare {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2x + b^2y + c^2z = d^2 \end{cases}, presupunând că a,b,ca, b, c sunt numere reale distincte.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Calculați determinantul matricei AA prin scăderea liniei întâi din celelalte și dezvoltare: det⁡(A)=∣1aa20b−ab2−a20c−ac2−a2∣=(b−a)(c2−a2)−(c−a)(b2−a2)=(b−a)(c−a)(c−b)\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 0 & b-a & b^2-a^2 \\ 0 & c-a & c^2-a^2 \end{vmatrix} = (b-a)(c^2-a^2) - (c-a)(b^2-a^2) = (b-a)(c-a)(c-b).
23 puncte
Scrieți sistemul în formă matricială MX=BMX = B, unde M=(111abca2b2c2)M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{pmatrix}, X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, B=(1dd2)B = \begin{pmatrix} 1 \\ d \\ d^2 \end{pmatrix}. Observați că M=ATM = A^T, deci det⁡(M)=det⁡(A)=(b−a)(c−a)(c−b)≠0\det(M) = \det(A) = (b-a)(c-a)(c-b) \neq 0.
33 puncte
Aplicați regula lui Cramer. Calculați determinanții Dx=∣111dbcd2b2c2∣D_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ d & b & c \\ d^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}, Dy=∣111adca2d2c2∣D_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & d & c \\ a^2 & d^2 & c^2 \end{vmatrix}, Dz=∣111abda2b2d2∣D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & d \\ a^2 & b^2 & d^2 \end{vmatrix}. Folosind proprietăți similare ca la step 1, obțineți x=(d−b)(d−c)(a−b)(a−c)x = \frac{(d-b)(d-c)}{(a-b)(a-c)}, y=(d−a)(d−c)(b−a)(b−c)y = \frac{(d-a)(d-c)}{(b-a)(b-c)}, z=(d−a)(d−b)(c−a)(c−b)z = \frac{(d-a)(d-b)}{(c-a)(c-b)}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.