MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se consideră sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=1x+y+az=1\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = 1 \\ x + y + az = 1 \end{cases}, cu a∈Ra \in \mathbb{R}. a) Folosind determinanți, stabiliți pentru ce valori ale lui aa sistemul are soluție unică. b) Pentru a=2a = 2, rezolvați sistemul aplicând regula lui Cramer.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați determinantul principal D=∣a111a111a∣=a(a2−1)−1(a−1)+1(1−a)=a3−a−a+1+1−a=a3−3a+2D = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = a(a^2 - 1) - 1(a - 1) + 1(1 - a) = a^3 - a - a + 1 + 1 - a = a^3 - 3a + 2.
22 puncte
Sistemul are soluție unică dacă D≠0D \neq 0. Factorizăm: D=(a−1)2(a+2)D = (a - 1)^2(a + 2). Deci, D=0D = 0 pentru a=1a = 1 sau a=−2a = -2. Astfel, sistemul are soluție unică pentru a∈R∖{1,−2}a \in \mathbb{R} \setminus \{1, -2\}.
33 puncte
Pentru a=2a = 2, D=23−3⋅2+2=8−6+2=4D = 2^3 - 3 \cdot 2 + 2 = 8 - 6 + 2 = 4. Calculați determinanții auxiliari: Dx=∣111121112∣=1(4−1)−1(2−1)+1(1−2)=3−1−1=1D_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1(4 - 1) - 1(2 - 1) + 1(1 - 2) = 3 - 1 - 1 = 1, Dy=∣211111112∣=2(2−1)−1(2−1)+1(1−1)=2−1+0=1D_y = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2(2 - 1) - 1(2 - 1) + 1(1 - 1) = 2 - 1 + 0 = 1, Dz=∣211121111∣=2(2−1)−1(1−1)+1(1−2)=2−0−1=1D_z = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(2 - 1) - 1(1 - 1) + 1(1 - 2) = 2 - 0 - 1 = 1.
42 puncte
Soluția sistemului pentru a=2a = 2 este x=DxD=14x = \frac{D_x}{D} = \frac{1}{4}, y=DyD=14y = \frac{D_y}{D} = \frac{1}{4}, z=DzD=14z = \frac{D_z}{D} = \frac{1}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.