MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se consideră sistemul de ecuații liniare cu parametrul real kk: {kx+y+z=1x+ky+z=kx+y+kz=k2\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k^2 \end{cases}. a) Studiați compatibilitatea sistemului în funcție de kk folosind determinantul matricei sistemului. b) Pentru valorile lui kk pentru care sistemul este compatibil determinat, determinați soluția. c) Pentru k=1k=1 și k=−2k=-2, discutați natura sistemului (compatibil nedeterminat sau incompatibil).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculul determinantului Δ=∣k111k111k∣=k3−3k+2=(k−1)2(k+2)\Delta = \begin{vmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{vmatrix} = k^3 - 3k + 2 = (k-1)^2(k+2).
21 punct
Dacă Δ≠0\Delta \neq 0 (k≠1k \neq 1 și k≠−2k \neq -2), sistemul este compatibil determinat.
33 puncte
Pentru k≠1k \neq 1 și k≠−2k \neq -2, soluția se găsește cu regula lui Cramer: x=∣111kk1k21k∣Δx = \frac{ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ k & k & 1 \\ k^2 & 1 & k \end{vmatrix} }{\Delta}, y=∣k111k11k2k∣Δy = \frac{ \begin{vmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & k^2 & k \end{vmatrix} }{\Delta}, z=∣k111kk11k2∣Δz = \frac{ \begin{vmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & k \\ 1 & 1 & k^2 \end{vmatrix} }{\Delta}. După calcule, se obține x=k2−k−1(k−1)(k+2)x = \frac{k^2 - k - 1}{(k-1)(k+2)}, y=−k2+2k−1(k−1)(k+2)y = \frac{-k^2 + 2k - 1}{(k-1)(k+2)}, z=k3−k2−k+1(k−1)(k+2)z = \frac{k^3 - k^2 - k + 1}{(k-1)(k+2)}.
42 puncte
Pentru k=1k=1, sistemul devine {x+y+z=1x+y+z=1x+y+z=1\begin{cases} x+y+z=1 \\ x+y+z=1 \\ x+y+z=1 \end{cases}, care este compatibil nedeterminat; soluția generală este x=1−y−zx = 1 - y - z, cu y,z∈Ry, z \in \mathbb{R}.
52 puncte
Pentru k=−2k=-2, sistemul este {−2x+y+z=1x−2y+z=−2x+y−2z=4\begin{cases} -2x+y+z=1 \\ x-2y+z=-2 \\ x+y-2z=4 \end{cases}; se arată că este incompatibil, de exemplu, prin adunarea primei ecuații cu a doua sau verificând că rangul matricei sistemului este diferit de rangul matricei extinse.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.