MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră sistemul de ecuații: {x+y+z=62x−y+z=3x+2y+kz=4\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y + kz = 4 \end{cases}, cu k∈Rk \in \mathbb{R}. Utilizând regula lui Cramer, determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică și, în acest caz, exprimați soluția în funcție de kk.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Matricea coeficienților: M=(1112−1112k)M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & k \end{pmatrix}. Determinantul D=det⁡(M)=1⋅∣−112k∣−1⋅∣211k∣+1⋅∣2−112∣=1⋅(−k−2)−1⋅(2k−1)+1⋅(4+1)=−3k+4D = \det(M) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & k \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & k \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-k - 2) - 1 \cdot (2k - 1) + 1 \cdot (4 + 1) = -3k + 4.
22 puncte
Condiția pentru soluție unică: D≠0D \neq 0, adică k≠43k \neq \frac{4}{3}.
33 puncte
Calculul determinanților: Dx=∣6113−1142k∣=6(−k−2)−1(3k−4)+1(6+4)=−9k+2D_x = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 4 & 2 & k \end{vmatrix} = 6(-k - 2) - 1(3k - 4) + 1(6 + 4) = -9k + 2; Dy=∣16123114k∣=1(3k−4)−6(2k−1)+1(8−3)=−9k+7D_y = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 4 & k \end{vmatrix} = 1(3k - 4) - 6(2k - 1) + 1(8 - 3) = -9k + 7; Dz=∣1162−13124∣=1(−4−6)−1(8−3)+6(4+1)=15D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 1(-4 - 6) - 1(8 - 3) + 6(4 + 1) = 15.
43 puncte
Soluția: x=DxD=−9k+24−3kx = \frac{D_x}{D} = \frac{-9k + 2}{4 - 3k}, y=DyD=−9k+74−3ky = \frac{D_y}{D} = \frac{-9k + 7}{4 - 3k}, z=DzD=154−3kz = \frac{D_z}{D} = \frac{15}{4 - 3k}, pentru k≠43k \neq \frac{4}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.